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Introducción a Solvencia II

ÍNDICE

I. INTRODUCCIÓN
II. PILAR I
III. PILAR II
IV. PILAR III


I. INTRODUCCIÓN
Solvencia II es una iniciativa que surgió en la Unión Europea para establecer un esquema común en la administración de riesgos de las compañías de seguros y reaseguros, a través de la definición del requerimiento de capital de solvencia, así como la instalación de procesos y procedimientos para identificar, medir y gestionar los niveles de riesgo asumidos.

Esta iniciativa ha sido aceptada internacionalmente, por lo que son varios los países que están realizando acciones para adoptarla dentro de sus marcos regulatorios, México es uno de ellos.

Es importante resaltar que uno de los principales objetivos de Solvencia II es el desarrollo y establecimiento de un sistema que permita medir los recursos necesarios, para garantizar la solvencia de una aseguradora en función de los riesgos asumidos por ésta. La solvencia de una entidad no debería estar basada únicamente en datos financieros, sino que deben considerarse otros aspectos, tales como su exposición al riesgo; tamaño; estrategias; políticas de protección en reaseguro, etc.

Este marco regulatorio es necesario porque las empresas financieras pueden sufrir quebrantos importantes derivados de una mala administración de riesgos.

A nivel internacional existen varios ejemplos como:

1994. Bankers Trust (mala práctica por $150 millones). El banco se vio envuelto en un juicio con un cliente que lo acusó de prácticas comerciales inapropiadas. Aunque llegó a un acuerdo con la otra parte, el banco sufrió un deterioro reputacional, que derivó en la venta de la institución a Deutsche Bank.

1995. Barings (operación no autorizada por $1,300 millones). Nick Leeson, un ejecutivo compró y vendió instrumentos derivados sin contar con facultades dentro del banco para hacerlo durante dos años, esto acumuló pérdidas no reportadas, que llevaron a la compañía hasta la quiebra.

1996. Sumitomo (operación no autorizada por $2,600 millones). La reputación del banco se vio seriamente afectada por un agente de cobro que a lo largo de más de tres años acumuló pérdidas no registradas.

1997. Natwest (error de modelo por $127 millones). Kyriacos Papouis un operador de swaptions, utilizó volatilidades equivocadas en un modelo para valorar un swap. Esto le llevó a sobreestimar el valor de los contratos y generó grandes pérdidas que no pudo ocultar.

2004. City Bank. Integró una reserva de 5,000 millones de dólares por posibles demandas judiciales al verse implicado en los casos de Enron y Wordcom.

2008. Lehman Brothers, cuarto banco de inversión en Estados Unidos, se declaró en bancarrota tras 158 años de actividad ante el fracaso de las negociaciones con las dos entidades que en un principio se perfilaban como posibles compradores. En 2007 se vio seriamente afectada por la crisis financiera provocada por los créditos subprime. Acumuló enormes pérdidas por títulos respaldados por las hipotecas a lo largo de 2008. En el segundo trimestre fiscal, Lehman informó pérdidas de 2,800 millones de dólares y se vio obligada a vender 6,000 millones de dólares en activos. En el primer semestre de 2008, Lehman había perdido el 73% de su valor en bolsa.

2008. La Reserva Federal de Estados Unidos rescató a la aseguradora American International Group Inc. con 85 mil millones de dólares, lo que evitó su quiebra y brindó un aliciente para los agitados mercados de todo el mundo. AIG estuvo a punto de declararse en quiebra si no conseguía suficiente dinero para cubrir sus obligaciones. El gran problema era que si la aseguradora quebraba, dejaría sin garantizar el recobro de los préstamos a las entidades a las que avala, los bancos comenzarían a sufrir la insolvencia de los prestatarios y de la aseguradora por lo que la solvencia de muchas compañías estaría en riesgo.

Con la instrumentación de Solvencia II se busca lograr que cada aseguradora conozca cómo está afrontando los distintos riesgos que asume, la capacidad de gestión de los mismos y la incidencia que tienen en las distintas líneas de negocio. Todo esto para determinar el importe de recursos propios que debe destinar para sus coberturas.

En ese sentido, lo que se busca es:

• Reducir el riesgo de que una compañía no sea capaz de hacer frente a sus obligaciones.
• Disminuir las pérdidas asumidas por los asegurados, en caso que una compañía no sea capaz de hacer frente completamente a todas sus obligaciones.
• Ofrecer un sistema de aviso preventivo que permita a los reguladores actuar inmediatamente, en caso de que el capital a mantener caiga por debajo de los niveles mínimos requeridos.
• Fomentar la confianza en la estabilidad financiera del sector asegurador.
• Mejorar la eficiencia en los mercados.
• Establecer requerimientos de capital más acordes con el perfil de riesgo específico de las instituciones.
• Establecer principios sin ser excesivamente normativos (otorgando más responsabilidad a las propias entidades).
• Un Gobierno Corporativo sólido.
• Una mejor Administración de Riesgos.
• Mayor transparencia y revelación de información a los participantes del mercado.
• Ser coherente con los desarrollos del mercado (especialmente en materia de contabilidad con la IASB 1 (Internacional Accounting Standards Board: Junta Internacional de Normas de Contabilidad, la cual es un organismo independiente del sector privado que desarrolla y aprueba las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF))).

Es evidente que con las bases mencionadas, se logrará mejorar la protección tanto de los asegurados como de los beneficiarios, así como la rentabilidad de las aseguradoras, y la transparencia de los aseguradores en sus comunicaciones públicas y privadas, para crear disciplina en el mercado y por tanto generar confianza.

La iniciativa de Solvencia II está diseñada sobre tres pilares de actuación: el primero consiste en implantar un proceso de análisis de las reservas, activos y pasivos necesarios para cubrir las obligaciones aceptadas en las pólizas, así como cuantificar los requerimientos de capital para enfrentar los riesgos asumidos; el segundo se ocupa de definir las reglas de supervisión, control interno y gobierno corporativo; y el tercero busca establecer las obligaciones de información que las aseguradoras deberán presentar al mercado.

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II. PILAR I
El Pilar I es de naturaleza cuantitativa y a manera de síntesis podemos decir que se ocupa de tres elementos:

• Determinación de Fondos Propios
• Valuación de Reservas
• Requerimientos de Capital

Determinación de Fondos Propios
El esquema de Solvencia II está basado en la valuación económica del riesgo y el capital de las aseguradoras, lo que llevará a las aseguradoras a aplicar principios económicos cuando calculen el capital obligatorio y sus fondos propios. Un enfoque de valuación económica significa que se deben usar valores consistentes con el mercado (market-consistent) para valorar los activos y pasivos en el balance de las compañías. La diferencia entre el Valor de Mercado de los Activos (VMA) y el Valor de Mercado de los Pasivos (VMP) dará como resultado los Fondos Propios, los cuales deben ser suficientes para cubrir el Requerimiento de Capital de Solvencia.

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Valuación de reservas
Al ser el pasivo más importante de una aseguradora, las reservas deben también valuarse a mercado. En general no existe un mercado cuyos instrumentos permitan replicar los flujos de estos pasivos, por lo que se considera que para efectos de Solvencia II, éstas deben ser valuadas como la suma del Mejor Estimador más el Margen de Riesgo.

El Mejor Estimador se define como el valor esperado de los flujos futuros del portafolio de riesgos, entendido como la media ponderada por probabilidad de dichos flujos, considerando el valor temporal del dinero con base en las curvas de tasas de interés libres de riesgo de mercado. Por su parte, el Margen de Riesgo representa el costo de asegurar que el capital requerido estará disponible para mantener las obligaciones de seguros para los años subsecuentes.

Por lo tanto, la suma de ambos elementos indicará el valor del portafolio de riesgos asegurados, dado que incluye los flujos de posibles ingresos y egresos asociados al negocio suscrito y el costo del capital necesario para continuar la operación del mismo hasta su extinción.

Requerimientos de capital
El Requerimiento de Capital de Solvencia busca garantizar que habrá recursos patrimoniales suficientes para hacer frente a los riesgos y responsabilidades asumidas, en función de las operaciones y los riesgos a los que esté expuesta la institución.

Ese requerimiento debe contemplar los siguientes riesgos:

1. Suscripción o Técnicos. Para las operaciones de Vida, Accidentes y Enfermedades y Daños.

• El riesgo de suscripción de los seguros de Vida reflejará el derivado de la suscripción atendiendo a los siniestros cubiertos y a los procesos operativos vinculados a su atención. Considerará cuando menos los subriesgos de mortalidad, longevidad, discapacidad, enfermedad, morbilidad, de gastos de administración, caducidad, conservación, rescate de pólizas y de eventos extremos en los seguros de Vida.

• El riesgo de suscripción de los seguros de Accidentes y Enfermedades mostrará el que se derive de la suscripción como consecuencia tanto de los siniestros cubiertos, como de los procesos operativos vinculados a su atención. Tomará en cuenta cuando menos los riesgos de primas y de reservas, de mortalidad, longevidad, discapacidad, enfermedad, morbilidad, de gastos de administración y riesgo de epidemia.

• El riesgo de suscripción de los seguros de Daños reflejará el que se derive de la suscripción como consecuencia tanto de los siniestros cubiertos, como de los procesos operativos vinculados a su atención. Considerará cuando menos los riesgos de primas y de reservas, así como de eventos extremos en los seguros de Daños.

2. El Riesgo de Mercado. Este reflejará la pérdida potencial por cambios en los factores de riesgo que influyan en el valor de los activos y pasivos de las Instituciones y Sociedades Mutualistas, tales como tasas de interés, tipos de cambio, índices de precios, entre otros.

3. El Riesgo de Descalce entre Activos y Pasivos. Mostrará la pérdida potencial derivada de la falta de correspondencia estructural entre los activos y los pasivos, por el hecho de que una posición no pueda ser cubierta mediante el establecimiento de una posición contraria equivalente. En este caso se tomará en cuenta cuando menos, la duración, moneda, tasa de interés, tipos de cambio, índices de precios, entre otros.

4. El Riesgo de Liquidez. Reflejará la pérdida potencial por la venta anticipada o forzosa de activos a descuentos inusuales para hacer frente a obligaciones, o bien, por el hecho de que una posición no pueda ser oportunamente enajenada o adquirida.

5. El Riesgo de Crédito. Mostrará la pérdida potencial derivada de la falta de pago, o deterioro de la solvencia de las contrapartes y los deudores en las operaciones que efectúen las Instituciones y Sociedades Mutualistas, incluyendo las garantías que les otorguen. Adicionalmente, el Riesgo de Crédito deberá considerar la pérdida potencial que se derive del incumplimiento de los contratos destinados a reducir el riesgo, tales como los contratos de reaseguro, de reafianzamiento, de bursatilización y de operaciones financieras derivadas, así como las cuentas por cobrar de intermediarios y otros riesgos de crédito que no puedan estimarse respecto del nivel de la tasa de interés libre de riesgo.

6. El Riesgo de Concentración. Hará notorio el incremento de las pérdidas potenciales asociado a una inadecuada diversificación de activos y pasivos, que se deriva de las exposiciones causadas por riesgos de crédito, de mercado, de suscripción, de liquidez, o por la combinación o interacción de varios de ellos, por contraparte, por tipo de activo, área de actividad económica o área geográfica.

7. El Riesgo Operativo. Reflejará la pérdida potencial por deficiencias o fallas en los procesos operativos, en la tecnología de información, en los recursos humanos o cualquier otro evento externo adverso relacionado con la operación de las Instituciones y Sociedades Mutualistas.

Para calcular el Requerimiento de Capital de Solvencia se deben considerar:

• Continuidad de la suscripción de riesgos.
• Que todos los riesgos y responsabilidades sean considerados y analizados en el horizonte de tiempo que corresponda a su naturaleza y características.
• Pérdidas imprevistas en función de los riesgos y responsabilidades con un nivel de confianza de 99.5 por ciento.
• Períodos de recurrencias apropiados a las características de los riesgos catastróficos.
• La diversificación entre los riesgos.

Una vez que se cuenta con la determinación del “Requerimiento de Capital de Solvencia y los Fondos Propios” se debe calcular el “Índice de Solvencia”, el cual no puede ser menor a 1, porque representaría una insuficiencia de capital para cubrir los requerimientos de la misma.

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Para determinar los elementos ya descritos, las compañías pueden optar por usar un modelo estándar (generalmente propuesto por las autoridades y/o por asociaciones de seguros) o buscar un modelo interno.

El Estudio de Impacto Cuantitativo (QIS por sus siglas en inglés) plantea un modelo estándar para cuantificar el requerimiento de capital para los riesgos ya detallados en este documento, para valuar las reservas y determinar los fondos propios de las compañías de seguros.

En Europa se han realizado cuatro de estos estudios, actualmente se encuentra en desarrollo el quinto de ellos, a través de los cuales se han mejorado los modelos para valuar los diferentes riesgos considerados, lo que ha dado como resultado requerimientos de capital más precisos.

En la Unión Europea las empresas aseguradoras en esa región han avanzado en los siguientes aspectos:

• Un análisis de brecha entre la estructura y funciones actuales de sus órganos de gobierno corporativo y los necesarios para Solvencia II.
• El desarrollo de los elementos del modelo estándar o modelo propio.
• El diseño e integración de las estructuras de información necesarias para la operación de Solvencia II.


III. PILAR II
El Pilar II pretende la promoción de estándares mejorados y consistentes de gestión de riesgos. Estos requerimientos tendrán un gran efecto en las diversas actividades o aspectos de gestión de las instituciones. Los aspectos clave afectados drásticamente son los siguientes:

• Sistema de gestión y seguimiento del riesgo.
• Estrategia y apetito al riesgo.
• Autoevaluación del Riesgo y la Solvencia (ORSA por sus siglas en inglés).
• Función de control interno.
• Papel relevante de la función actuarial.
• El uso de la externalización (outsourcing)

La mayoría de los expertos consideran que cumplir con los requerimientos del Pilar II, será un reto mucho mayor para las aseguradoras que el contar con un modelo para la determinación de los requerimientos de capital.

Sistema de gestión y seguimiento del riesgo
Un sistema de administración de riesgos efectivo y un gobierno corporativo sólido en todos los niveles de la compañía constituyen las piedras angulares de un sistema de solvencia sólido. Mientras que resulta fundamental que las compañías efectúen cálculos de capital lo más ajustados a los riesgos reales a los que están expuestos, las decisiones de la alta dirección y la calidad de los grupos de control son potencialmente cruciales para asegurar la salud financiera a largo plazo de las instituciones. Un sistema de administración de riesgos efectivo y un gobierno corporativo sólido en todos los niveles de la compañía constituyen las piedras angulares de un sistema de solvencia sólido. Mientras que resulta fundamental que las compañías efectúen cálculos de capital lo más ajustados a los riesgos reales a los que están expuestos, las decisiones de la alta dirección y la calidad de los grupos de control son potencialmente cruciales para asegurar la salud financiera a largo plazo de las instituciones.

Las debilidades que pudiera padecer una compañía en estas áreas, la haría susceptible de sufrir problemas financieros en caso de presentarse eventos externos negativos.

En este sentido, Solvencia II exige a las compañías que definan de manera documentada las políticas, procesos y procedimientos de medición y seguimiento del riesgo, para ser empleados en la formulación/actualización del plan de negocio de la empresa.
Asimismo, se debe dar una adecuada periodicidad a la actualización de la información reportada a la alta dirección.

Estrategia y apetito al riesgo
Un aspecto de suma importancia consiste en disponer de un sistema eficaz de administración de riesgos, que comprenda estrategias y la aprobación de los límites y tolerancia a los mismos.

Solvencia II requiere, en tales casos, que la directiva de la empresa se involucre en el diseño de la estrategia de gestión de riesgos. Deben existir políticas y procedimientos documentados de seguimiento que reporten a la alta dirección los niveles de riesgos asumidos, así como el apetito por ellos, mismo que debe integrarse en el proceso de la toma de decisiones.

Autoevaluación del Riesgo y la Solvencia (ORSA)
Las compañías de seguros y reaseguros deben llevar a cabo una autoevaluación de los riesgos del negocio y el nivel de solvencia para mitigarlos. Una función de riesgos robusta asistirá a la compañía para llevar a cabo este proceso de autoevaluación de capital, que vincula la visión de la compañía sobre sus riesgos y sus necesidades de solvencia.

Esta evaluación interna de los riesgos y de la solvencia es un proceso de valoración interno que trata de asegurar que la directiva lleve a cabo una revisión de su perfil de riesgo y los niveles de capital de solvencia que sustente. Por lo tanto, esta evaluación debe reflejar el apetito al riesgo específico que podría llevar a las compañías a buscar niveles de confianza más altos -o en su caso mayores horizontes temporales- a los que Solvencia está establecido (99.5 por ciento).

Solvencia II exige, en este contexto, que las compañías cuenten con procesos y procedimientos para determinar los riesgos asumidos y argumentar los métodos usados en dicha evaluación. Es importante que este proceso de autoevaluación de capital se realice bajo una perspectiva de largo plazo, anticipando posibles evoluciones de los riesgos y el plan estratégico del negocio. La periodicidad del análisis debe estar en función de los cambios materiales en los riesgos expuestos por la entidad.

Función del control interno
El control interno ha sido una pieza clave dentro del sector asegurador desde hace mucho tiempo. Solvencia II valora de sobre manera el hecho de que las compañías de seguros y reaseguros dispongan de un sistema eficaz de control interno, que cuente con procedimientos administrativos y contables.

Este sistema debe establecer y contener mecanismos adecuados de información a todos los niveles de la empresa. La alta dirección será la encargada de aprobar las políticas que describa el marco instaurado. También requiere de validación periódica por parte del área de Auditoría Interna. Adicionalmente el órgano de administración, dirección y supervisión deberá asesorar en la verificación de los requisitos marcados por la directiva relacionados con el control interno. Como punto adicional, la auditoría externa será usada como medio para evaluar la adecuación de los procesos de gestión de riesgo contemplados.

Papel relevante de la función actuarial
Solvencia II requiere que la función actuarial se encargue de la valoración de las reservas técnicas (metodologías y calidad de los datos) y de la comunicación directa con la dirección acerca de estos puntos. Por tanto debe hacerse cargo del contacto y pronunciamiento ante el órgano de administración y dirección sobre las políticas de suscripción, técnicas de mitigación y riesgos asumidos.

Es también responsable del desarrollo del modelo para el requerimiento de capital de solvencia. De esta forma se genera una vinculación continua entre las funciones de riesgos y actuaría, influyendo sobre la definición del plan estratégico de negocio.

El uso de la externalización (outsourcing)
La externalización (outsourcing) de actividades se contempla dentro del Solvencia II, siempre y cuando las compañías de seguros y reaseguros respondan plenamente al cumplimiento de todas las obligaciones que conlleva traspasar el negocio fuera del alcance directo.

Todas aquellas funciones o actividades operativas críticas e importantes, no podrán realizarse fuera de la compañía cuando sean contrarias a la calidad y cumplimiento de los procesos establecidos dentro de la misma o que menoscaben la capacidad supervisora del regulador.

Por lo anterior resulta necesario enviar información continua y oportuna al regulador en caso de recurrir a la contratación de externos para las funciones antes mencionadas.

Finalmente las entidades deben asegurar que el servicio ofrecido a través de estas actividades, no afecta negativamente a los clientes de seguros.

IV. PILAR III
El Pilar III busca la transparencia a través de la publicación de información periódica sobre la situación financiera y de solvencia de la compañía. Supone establecer una disciplina de mercado para todas las instituciones de seguros y reaseguros, cuyo objetivo último es el apoyo para obtener metas regulatorias. Éste de un elemento muy importante dentro de Solvencia II y las compañías deben prepararse para publicar la información en base a la periodicidad y detalle establecido por el regulador.

La gestión de la transparencia y el reporte de riesgos al mercado configuran un aspecto que las entidades deben analizar con un enfoque amplio, ya que su éxito se basa en gran medida en el grado en que se integren internamente los diferentes elementos que conforman la gestión de riesgos.

En este sentido la implicación de los nuevos procesos de reporte de información comprenden tanto a la alta dirección, como a todos los niveles operativos de las compañías.

Por un lado, desde un nivel superior la coordinación de tres elementos claves (estrategia, cultura y valores) puede provocar que se amplíe la idea de transparencia a lo largo de la firma, y por el otro esta extensión se hará operativa en el resto de niveles a través del desarrollo de reporte y control tanto interno como externo.

La revelación de información prudencial de riesgos al mercado tiene como objetivo presentarle periódicamente a la directiva, una serie de datos cuantitativos (importes de riesgo) y cualitativos (políticas, procedimientos) que muestren la situación objetiva de la institución en lo que respecta a la gestión de riesgos.

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El diagrama siguiente ofrece un detalle sobre las características de la información que debe ser revelada al mercado, para el cumplimiento del Pilar III.

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FÓRMULA GENERAL DE SOLVENCIA II

El cálculo del Requerimiento de Capital de Solvencia (RCS) se divide en dos módulos:

• El Requerimiento de Capital de Solvencia Básico (RCSB).
• El Requerimiento de Capital de Solvencia por Riesgo Operativo

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Dentro del Requerimiento Básico de Solvencia se incluyen los riesgos técnicos, el de mercado y el de contraparte.

Los riesgos técnicos se dividen en los de suscripción de Vida y No Vida, incluyendo Accidentes, Gastos Médicos y Salud.

Los siguientes cuadros muestran los subriesgos a considerar dentro de los riesgos de suscripción.

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Los Seguros de Salud y las Coberturas Adicionales pueden, dependiendo de sus características, ser tratados usando técnicas similares a las de Vida a largo plazo o a las de No Vida a corto plazo, en cuyo caso podrían considerar otros subriesgos, tales como longevidad e incluso pandemias.

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En el modelo empleado para el QIS 4, una vez calculados los requerimientos de capital, éstos se agregan usando la matriz de correlación de riesgos, a través de la fórmula siguiente:

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La matriz de correlación planteada en QIS 4, para agregación de riesgos es:

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 Existen múltiples críticas sobre el uso de esta matriz de correlación, algunas evidentemente de naturaleza técnica y otras debido a su forma de construcción, la cual se basa en el “juicio experto” y tres niveles de correlación (0.25=bajo, 0.5 medio, 0.75=alto). No obstante, debe tenerse en cuenta que su uso se limita al modelo estándar de requerimiento de capital de solvencia y que para fines de modelos internos, puede emplearse otras técnicas para reconocer la diversificación de los riesgos.

Fuente:
-Informe del Comité de Solvencia II de AMIS (Asociación Mexicana de Instituciones de Seguros).

Funciones o símbolos de conmutación

La presente publicación es con el objetivo de exponer el origen y la aplicación de los diferentes símbolos conmutativos usados por los actuarios.

ÍNDICE

I. TABLAS DE MORTALIDAD
1. Introducción
2. La interpretación determinista
3. Construcción de tablas de mortalidad
II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
III. RENTAS VITALICIAS
1. Rentas constantes
2. Rentas variables
IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO


I. TABLAS DE MORTALIDAD

1. Introducción
Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo concreto fallezca en un determinado período depende de muchos factores, como por ejemplo su edad, sexo, estado de salud, factores genéticos y ambientales, etc. En efecto, es evidente que la mortalidad aumenta con la edad. También se sabe que la mortalidad femenina, a igualdad de los restantes factores, es inferior a la masculina.

Por otro lado, las estadísticas y censos relativos a una población suelen registrar las edades y el sexo de sus componentes, pero no su estado de saludad ni su posible exposición a factores de riesgo genéticos o ambientales. Además, si la población es suficientemente grande entonces el principal factor determinante de la mortalidad resulta ser la edad de los individuos. Por esta razón, hemos considerado únicamente la edad como factor determinante de la mortalidad. Llamaremos población homogénea a una población en la que se verifique la propiedad anterior.

Una tabla de mortalidad contiene los elementos básicos que permiten calcular las probabilidades de muerte y supervivencia en una población homogénea, a partir de las cuales se llevan a cabo los cálculos actuariales.

2. La interpretación determinista
Los principales valores que aparecen en una tabla de mortalidad son: qx, lx y dx , donde el primero resulta ser la probabilidad de que un individuo de edad x muera en el transcurso de un año, y los dos siguientes son, respectivamente, el número medio de individuos vivos a la edad x y el número medio de individuos que fallecen entre las edades x y x+1, de un colectivo inicial de l0 recién nacidos. Se trata, por tanto, de probabilidades y de esperanzas matemáticas asociadas con ciertas variables aleatorias. Por esta razón, la interpretación anterior (que es la correcta) se le suele denominar interpretación estocástica de la tabla de mortalidad.

Existe asimismo una forma alternativa y sencilla de interpretar una tabla de mortalidad, según la cual los valores de las lx coinciden exactamente con el número de individuos del colectivo inicial de l0 recién nacidos que alcanzan con vida las distintas edades. Según esta interpretación, dx sería el número exacto de individuos del colectivo inicial de l0  recién nacidos que fallecen entre las edades x y x+1. Asimismo qx se interpreta como la proporción de individuos del colectivo inicial de l0 recién nacidos que habiendo alcanzado con vida la edad x mueren antes de cumplir un año más. Observemos que las probabilidades y esperanzas matemáticas de la interpretación estocástica se han convertido en proporciones y valores exactos. Por esta razón se habla de la interpretación determinista (o clásica) de la tabla de mortalidad.

3. Construcción de tablas de mortalidad
En la práctica, casi todas las tablas de mortalidad se construyen estimando en primer lugar la columna de los tantos de mortalidad qx , y calculando posteriormente las demás. Como es natural, las probabilidades qx se estiman a partir de las frecuencias relativas de los mismos sucesos. Es necesario, por tanto, considerar para cada x un gran número de individuos de esa edad, y contabilizar cuántos de ellos mueren en el transcurso de un año. Los datos necesarios se pueden obtener del Censo y de las estadísticas de defunciones del Registro Civil.

Las estimaciones obtenidas de esta forma no suelen ser muy fiables, ya que los datos de partida pueden estar afectados por diversos tipos de errores. También pueden presentar picos o altibajos atribuibles exclusivamente al azar. Asimismo, tanto los censos como los registros de defunciones suelen sufrir sesgos en la declaración de la edad, ya que a menudo se observa que abundan más las edades terminadas en 0 ó 5 que las edades restantes. Por estas razones se procede, en una segunda fase, a suavizar los datos originales, es decir, a sustituir los valores brutos de los qx por nuevos valores que presenten un desarrollo más regular, sin altibajos y saltos injustificables.

Existen técnicas estadísticas específicas para suavizar series de datos, siendo quizás la más conocida la técnica de las medias móviles, sin embargo, los actuarios suelen preferir suavizar los valores brutos mediante el ajuste de alguna función matemática que resulte adecuada para representar la mortalidad. Lo más habitual es recurrir a la expresión de alguna fuerza de mortalidad teórica, y ajustar sus parámetros por el método de los mínimos cuadrados, es decir, de forma que se minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores brutos de los qx y los correspondientes valores ajustados. Para edades adultas es habitual considerar la ley de mortalidad de Makeham o alguna otra parecida pero con mayor número de parámetros.

En la práctica, los ajustes suelen llevarse a cabo por tramos de edad. Como mínimo es habitual distinguir tres tramos, uno para las edades infantiles, otro para las edades adultas y un tercero para las edades seniles.

Una vez que se dispone de los valores ajustados de los tantos de mortalidad qx se procede a calcular los demás elementos de la tabla.

Podemos decir entonces que la tabla de mortalidad es un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida. Es por consiguiente una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos.

La tabla está compuesta por columnas, unas con letras minúsculas y otras con mayúsculas.

Columnas con letras minúsculas

Variable “x”: Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Generalmente comienza a la edad cero (0), recién nacidos o que no han cumplido un año de edad, y termina en una edad extrema de la tabla, a partir de la cual no hay sobrevivientes y se denota como omega(omega)

Función “ qx”: Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ px”: Indica la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ lx”: Indica el número de sobrevivientes a cada edad x. Generalmente, a la edad inicial, comienza por un número redondo, tal como 10 millones, 1 millón o 100 mil sobrevivientes, los cuales van reduciéndose año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número mínimo de sobrevivientes a la edad (omega-1), o sea, lomega-1 son los sobrevivientes que están destinados a fallecer a esa edad, es decir, de no alcanzar la edad omega.

Función “ dx ”: Indica el número de personas que fallecen a la edad x o el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el siguiente aniversario.

Columnas con letras mayúsculas

Corresponden a los llamados símbolos de conmutación, es decir, a unas relaciones de artificios matemáticos que facilitan enormemente los cálculos actuariales. Estos símbolos no obedecen a nada conceptual, pero que combinados con factores financieros a una determinada tasa de interés anual conducen a obtener valores que ayudan a determinar fórmulas actuariales de fácil desarrollo y comprensión. En los siguientes acápites iremos abordando cada uno de éstos conmutativos.

Finalmente, cabe señalar que las tablas de mortalidad varían según las características y la cantidad de masa humana utilizada en la observación estadística y pueden ser: tablas de población general o de censos nacionales, tablas de asegurados, que son las usadas por las entidades de seguros, en la hipótesis de que todos o la mayor parte de los asegurados son personas seleccionadas, es decir, sometidas a exámenes médicos, cuando se trata de seguros para el caso de muerte. También hay tablas que separan a los asegurados por sexos, como también hay tablas especiales usadas sólo para el caso de vida como son los rentistas.

II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
En este acápite abordaremos uno de los temas fundamentales de la matemática de los seguros de vida: la valoración actual de capitales futuros cuya cuantía y/o vencimiento dependen del acaecimiento de un suceso aleatorio, en este caso, la supervivencia de una persona.

Para realizar dichas valoraciones son necesarias bases técnicas que informen de la ley financiera y tipo de interés empleado y también de las probabilidades de los sucesos.

En cuanto a la ley financiera, emplearemos la de capitalización compuesta; el tipo de interés utilizado en los cálculos actuariales se denomina interés técnico, que no coincide necesariamente con el tipo de interés de mercado y es la rentabilidad que el segurador garantiza en sus operaciones de seguro; por último, las tablas de mortalidad nos proporcionarán las citadas probabilidades.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si sobrevive dentro de n años, es decir, si alcanza la edad x+n. La prima neta única que debería pagar sería:

dotal-puro-1

dotal-puro-2

La fórmula anterior es lo que se conoce como factor de actualización actuarial o factor demográfico financiero, el que naturalmente es menor que el factor de actualización financiero puro vn, precisamente por el riesgo de que al fallecer antes no recibiría el capital esperado. Se interpreta también como la prima neta única de un seguro dotal puro (capital diferido) que tendría que pagar una persona de edad x para recibir una suma asegurada de 1 unidad monetaria dentro de n años si sobrevive.

III. RENTAS VITALICIAS
Las rentas vitalicias se definen como un conjunto de capitales con vencimientos determinados cuya exigencia o pago se produce si en ellos se encuentra con vida una cabeza determinada. Pueden clasificarse en rentas constantes o rentas variables.

1. Rentas constantes
Se refieren a las rentas cuyos montos son iguales. Se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. La tarea como actuarios es calcular el valor actual de dichas rentas, el cual consiste en la prima neta única que debe satisfacer hoy una persona que desea percibir una renta anual mientras viva, en cualesquiera de las clases indicadas anteriormente. A continuación veamos el cálculo mencionado tomando de referencia una renta de 1 unidad monetaria:

renta-anticipada-1

renta-anticipada-2

renta-anticipada-3

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de rentas, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

renta-anticipada-4

renta-vencida-1

Como resultado de la observación, podemos establecer una regla mediante la cual los subíndices de las fórmulas expresan por sí solos lo siguiente:

– El subíndice de todos los denominadores indica la edad en que fue contratada la renta.
-El subíndice del único o primer término del numerador indica la edad en que se comienza a percibir o pagar la renta.
-Sólo en rentas temporales, el subíndice del segundo término del numerador indica la edad en que se deja de percibir o pagar la renta.

2. Rentas variables
Se refieren a las rentas cuyos montos no son iguales, los cuales pueden incrementar en progresión aritmética o geométrica. Al igual que las constantes, se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. Para calcular el valor actual de dichas rentas, es necesario definir un nuevo conmutativo:

sx

Entonces, las primas netas únicas de las rentas variables, tanto en progresión aritmética como geométrica son:

Rentas variables en progresión aritmética:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…}. Su valor actual actuarial sería:

aritmetica-1

aritmetica-2

aritmetica-3

Rentas variables en progresión geométrica:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión geométrica, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c*(1+h), el tercero c*〖(1+h)〗^2…; esto es, C={c,c*(1+h),c*〖(1+h)〗^2,…}. En este caso hay que modificar la tasa de interés técnico i por la siguiente:

i-modificada

También existe una segunda opción, y es la de modificar el factor de descuento financiero v en lugar de la tasa de interés técnico i. La fórmula sería:

v-modificada

Con lo anterior, el valor actual actuarial de dichas rentas sería:

geometrica-1

geometrica-2

geometrica-3

IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO
En este acápite abordaremos los seguros tradicionales de vida individual, caracterizados porque el pago del capital estipulado en el contrato depende de la supervivencia o fallecimiento del asegurado. Los seguros tradicionales son: Vida entera, Temporales y Dotales.

Seguro de Vida Entera: Proporciona protección para toda la vida del asegurado, la póliza vence para su pago sólo en caso de fallecimiento de la persona asegurada, cualquiera que sea la fecha en que el asegurado fallezca.

Seguros Temporales: Una póliza temporal es aquella bajo la cual la suma asegurada es pagadera solamente si la persona asegurada muere dentro del período establecido.

Seguros Dotales: Otra modalidad de los planes dotales es el dotal o Dotal Mixto que establece el pago de la suma asegurada en caso de muerte o sobrevivencia del asegurado, es decir, es la suma de un temporal y un dotal puro.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si su deceso se produce dentro del año, es decir, antes de alcanzar la edad x+1. La prima neta única que debería pagar sería:

temporal-1

temporal-2

La fórmula anterior corresponde a la prima neta única de un seguro temporal a un año que tendría que pagar una persona de edad x para que el beneficiario reciba una suma asegurada de 1 unidad monetaria si no sobrevive.

Ahora procederemos a calcular la prima neta única de los seguros de vida antes enunciados:

ultima

vida-2

vida-3

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de seguros, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

vida-4

Seguros de vida con variación de suma asegurada en progresión aritmética:
Sea un seguro de vida individual cuyo capital asegurado varía en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…,c+(ω-x-1)h}.

rx

Entonces, las primas netas únicas de cada uno de los seguros de vida individual tradicionales son:

vida-aritmetica-1

Bibliografía:
-Gil Fana, José Antonio; Heras Martínez, Antonio; Vilar Zanón, José Luis. Matemática de los seguros de vida. Fundación Mapfre.
-E. Palacios, Hugo. Introducción al cálculo actuarial. Mapfre.

Evolución de los métodos cuantitativos económico-financiero-actuariales

Hace unos días encontré en internet un artículo muy interesante sobre la evolución de métodos cuantitativos aplicados en nuestra profesión, por lo que se los comparto a continuación:

Autores:

Julio G. Villalón. F.de Cc. Económicas. Universidad de Valladolid.

Antonio Seijas Macías. F. de Economía e Empresa. Universidade da  Coruña

ÍNDICE

I. RESUMEN
II. INTRODUCCIÓN
III. MÉTODOS CUANTITATIVOS ECONÓMICO FINANCIERO ACTUARIALES
IV. RELACIONES DEL CÁLCULO CLÁSICO CON EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO
V. CONCLUSIONES


 I. RESUMEN

Los métodos cuantitativos económico-financiero-actuariales han experimentado un gran avance a lo largo del tiempo. Los economistas se han visto obligados a aplicar, de forma creciente, nuevos métodos para resolver los distintos problemas que han ido apareciendo y la relación de tales problemas aumenta continuamente. La habilidad de los economistas para plantear los problemas, refleja un cuerpo de teoría bien desarrollado, modos de análisis que enfatizan la lógica e instrumentos cuantitativos sofisticados.

Las  Matemáticas  y  la  Estadística en el ámbito económico-financiero-actuarial,  han jugado un papel central en el análisis económico, lo que ha proporcionado un mayor avance en el campo, particularmente financiero, al permitir a los economistas establecer rigurosamente sus teoremas y a contrastar la validez empírica de sus teorías.

Por  lo  que  se  refiere  a  la  Teoría  Financiera,  hace  más  de  50  años,  ésta  se  reducía  en términos generales, a un solo aspecto: Cálculo de los valores financiero actuariales. Ahora bien, los  economistas  financieros comenzaron  a  utilizar  una  gran  variedad  de  técnicas  estadísticomatemáticas cada vez más sofisticadas como: Teoría de la Probabilidad, Optimización, Procesos Estocásticos, Cálculo Estocástico, Ecuaciones Diferenciales Estocásticas, etc.

Pues  bien,  el  trabajo  que  presentamos  hace  referencia  a  la  evolución  de  las  técnicas matemáticas y sus aplicaciones, anteriormente mencionadas.


II. INTRODUCCIÓN

Después  de  hacer  algunas  referencias  a  la  evolución  de la ciencia  económico-financiero-actuarial a lo largo del tiempo, consideramos que para modelar y analizar el comportamiento  de  los  fenómenos  económicos  en  ambiente  de  incertidumbre, modernamente se vienen utilizando diversos métodos del cálculo estocástico como son la  integral  estocástica,el  Lema  de  Itô,  las  ecuaciones  diferenciales  estocásticas,  la estabilidad  estocástica  y  el  control  óptimo  estocástico,algunos  de  tales  aspectos consideramos a continuación.


III. MÉTODOS CUANTITATIVOS ECONÓMICO FINANCIERO ACTUARIALES

La  Ciencia  Financiero  Actuarial  en  su  nacimiento  en  el  siglo  XVII  se  dedicó fundamentalmente  a  las  operaciones  del  seguro  de  vida:  Cálculo  de  primas  para  las operaciones de rentas, capitales diferidos de supervivencia nex y operaciones de los seguros  de  vida  entera primas-unicas.  Pronto  se  vio  que  eran  necesarias  las  técnicas financiero actuariales para calcular las reservas matemáticas reservas-matematicas. En este aspecto, la ciencia financiero actuarial mostró los primeros rudimentos del cálculo estocástico hace más de un siglo. Las ecuaciones diferenciales para las reservas de una póliza del seguro de vida las obtuvo T. Nicolai Thiele en 1875 y para la probabilidad de ruina eventual de un  seguro  de  vida,  Filip  Lundberg  en  1903,  en  momentos  en  los  que  la  noción  de proceso estocástico no se había definido de forma concreta.

Aparte de su trabajo práctico en el “seguro de vida” y su tesis doctoral en 1903, Filip Lundberg (1876-1965) fue pionero en el seguro de enfermedad, utilizó la técnica del seguro de vida para la obtención de la reserva. Así mismo, fue pionero en el campo del reaseguro y de la “Swedish Actuarial Society” en 1904. Creó su original “Collective Risk Theory” publicada en sueco en 1906 y 1926 y en alemán en 1909 y 1930. En su tesis doctoral consideró ya la descripción “estocástica” de la corriente de pagos como un proceso  de  Poisson  compuesto.  Donde  los  momentos  de  los  pagos  constituían  un “Proceso  de  Poisson”  en  el  tiempo;  las  cantidades  sucesivas  pagadas  eran independientemente obtenidas de una distribución de la masa de riesgo. Probablemente este  fue  el  primer  ejemplo  en  el  cual  se  introdujo  y,  a  parte  del  trabajo  de  Louis Bachelier en 1990 y el Erlang en 1909, constituyen un ejemplo pionero importante de la definición y uso de los procesos estocásticos en tiempo-continuo. En la tesis, prueba el Teorema Central del Límite para los procesos, utilizando de forma original la ecuación de  futuro  para  la  función  de  distribución  del  proceso,  es  decir,  Lundberg  introdujo  el “proceso  de  riesgo”  que  describía  el  superávit,  donde  los  ingresos  eran  continuos  al tanto dado por la prima y el desembolso era un “proceso de Poisson compuesto”. Para este  proceso,  consideró  la  “probabilidad  de  ruina”,  probabilidad  de  que  el  resultado fuera negativo, como función del resultado inicial, el tanto de prima y la distribución de la masa de riesgo. Hay una ecuación integral para la probabilidad de ruina, que se utiliza para deducir la famosa desigualdad de Lundberg”:ruina, donde u es el superávit  y R es  el  “coeficiente  de  ajuste”,  una  medida  de  la  dispersión  de  la distribución de la masa de riesgo.

Por otra parte, Harald Cramer (1955) estudió la “Teoría del riesgo” consistente en  el  análisis  matemático  de  las  fluctuaciones  aleatorias  en  la  empresas  de  seguros  y discusión de los diversos medios de protección frente a sus efectos adversos.

En la “Teoría del riesgo individual”, la ganancia o pérdida de la compañía que surge durante un tiempo dado sobre una póliza se considera una variable aleatoria y el desarrollo  matemático  de  la  teoría  está  basado  en  un  estudio  de  la  distribución  de probabilidad de variables de este tipo. Las ganancias o pérdidas totales de la compañía durante el mismo tiempo será la suma de las variables aleatorias asociadas a las pólizas individuales en vigor en la compañía. De acuerdo con el Teorema Central del Límite, esta suma será aproximadamente normalmente distribuida si el número de pólizas es lo suficientemente grande y se pudiera obtener los tipos de las sumas aseguradas de todas las pólizas individuales, sería posible obtener los valores aproximados de las diversas posibilidades ligadas a las ganancias o pérdidas de la compañía bajo ciertas condiciones.

Respecto  a  la  “Teoría  del  Riesgo  Colectivo”  fundada  y  desarrollada  por  F. Lundberg en una serie de trabajos (1903/48), el riesgo empresarial de una compañía de seguros  se  consideraba  como  un  total,  como  un  juego  de  azar  continuo  entre  la compañía  y  la  totalidad  de  los  accionistas.  En  el  curso  de  este  juego,  ciertos  sucesos aleatorios:  las  “reclamaciones”  acaecen  durante  un  intervalo  de  tiempo,  tienen  que considerarse por la compañía mientras que por otra parte la compañía recibe una corriente continua  de  primas  de  riesgo  de  los  accionistas.  Mediante  ciertas  hipótesis simplificadoras, es posible estudiar las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias  fundamentales  asociadas  a  este  juego,  tal  como  el  montante  total  de  las reclamaciones que acaecen durante un intervalo de tiempo dado; la ganancia total de la Compañía que surge durante el mismo intervalo, etc.

La “Teoría del Riesgo Colectivo”, constituye una parte de la teoría general de los procesos estocásticos, que posteriormente tuvo un gran desarrollo y ha encontrado un gran número de aplicaciones importantes. Se ha demostrado que se puede presentar desde un punto de vista unificador el de la teoría de los procesos estocástico. El negocio del  riesgo  de  una  Compañía  de  seguros  constituye  un  caso  particular  de  un  proceso estocástico. El proceso de riesgo es un proceso estocástico que pertenece a la clase de los procesos estocásticos con incrementos estacionarios e independientes.

funcion-del-proceso-de-aseguramiento

En  el  siglo  XX,  la  revista  “Astin”,  jugó  un  papel  esencial  en  lo  relativo  a  los métodos financiero-actuariales que se habían aplicado a las operaciones de seguro no-vida (seguro  del  automóvil,  incendios,  etc.)  Emergió  una  nueva  clase  de  actuarios: “Actuarios  de  segunda  clase”,  donde  se  dio  entrada  a  las  técnicas  de  pensamiento probabilista: Actuarios vida y Actuarios no-vida. Posteriormente, un nuevo desarrollo, dio  lugar  a  la  emergencia  del  Actuario  de  la  tercera  clase,  grupo  de  expertos matemáticos  que  extendieron  sus  técnicas  a  lo  relativo  a  la  inversión  del  seguro  y Banca.

Tan pronto como pensemos respecto a la inversión en términos estocásticos se presentó  el  gran  problema  de  que:  los  riesgos  de  inversión  son  típicamente dependientes, y por tanto, desequilibrados. La contestación a este problema: como no hay  ninguna  ley  matemática  que automáticamente  equilibre  el  riesgo  de  inversión implica  crear  nuevos  instrumentos  artificiales  para  este  fin:  las  opciones  call,  put  y futuros. Por tal motivo se crearon técnicas avanzadas. La base estadística matemática debía  sustancialmente  ampliarse  para  los  economistas  financiero-actuariales,  con nociones como la teoría de los proceso estocásticos, integración estocástica, Fórmula de Itô, Fórmula de Black-Scholes. En resumidas cuentas, dar entrada al cálculo estocástico. Nueva clase de especialistas en las aplicaciones del “cálculo estocástico”.

El  término  “estocástico”  significa  “el  arte  de  suponer”.  En  primer  lugar  fue utilizado por Jacob Bernoulli en su libro “Ars Conjuctandi” en 1773 en el que probó la primera  ley  de  los  grandes  números.  Stochastic  modern  day,  es  un  dominio  de  las matemáticas  aplicadas.  Comprende,  (entre  otras,  la  Teoría  de  la  Probabilidad,  los Procesos Estocásticos y la Estadística). Se utilizan para examinar los sucesos aleatorios, desarrollos temporales y estructuras especiales tratando de encontrar las regularidades posibles.  Los  métodos  estocásticos  son  aplicables  a  todas  las  disciplinas  científicas, obteniéndose  ventajas  del  comportamiento  mediante  los  computadores  modernos.  Lo estocástico  ha  llegado  a  ser  un  instrumento  inestimable  para  las  ciencias  naturales, desarrollo tecnológico y economía.

El  cálculo  que  estudiamos  en  los  primeros  cursos  de  matemáticas  nos proporciona  los  instrumentos  analíticos  para  las  funciones  deterministas.  Ahora  bien, cuando modelamos la incertidumbre futura de un objeto, por ejemplo, el precio de un título  o  los  tantos  de  interés  a  lo  largo  del  tiempo,  estos  son  aleatorios  en  cualquier momento considerado, por tanto, son llamados proceso estocásticos.

El  cálculo  estocástico  es  el  instrumento  analítico  adecuado  para  los  procesos estocásticos.  Entonces  con  tales  instrumentos,  podemos  predecir  el  comportamiento futuro de estos aspectos y cuantificar los riesgos asociados a ellos. Esto es por lo que tiene gran importancia.

La  Teoría  de  los  Procesos  Estocásticos,  estudia  los  acontecimientos  aleatorios asociados al tiempo regidos por las leyes de probabilidad.

El cálculo estocástico se refiere a una clase específica de procesos estocásticos que son estocásticamente integrables y frecuentemente expresados como soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas.

Las primeras aplicaciones financieras de los procesos estocásticos, aparte de lo mencionado relativo a Lunberg y Cramer datan de 1900 cuando el matemático francés Louis Bachelier aplicó un proceso estocástico especial llamado movimiento Browniano o proceso de Wiener para describir los precios de los títulos en su tesis doctoral.

En 1982 Louis Bachelier llegó a París para continuar su educación universitaria en la Universidad de la Sorbonne. Allí tuvo un insigne cuadro de profesores: Paul Apell, Joseph Bousiness y Henri Poincaré. El desarrollo como científico fue bastante rápido y escribió su interesante tesis “Teoría de la Especulación” sobre la aplicación de la Teoría de la probabilidad a los mercados de títulos. Este se considera ahora históricamente el primer  intento  de  utilizar  las  matemáticas  avanzadas  en  la  matemática  financiero – actuarial y testimoniar la introducción del movimiento Browniano. De acuerdo con la tradición de la época, también defendió una segunda tesis sobre una materia elegida por la universidad sobre la mecánica de fluidos. Su título refleja el bagaje educativo de L. Bachelier “La resistencia de una masa líquida indefinida dotada de fricciones interiores regidas por las fórmulas de Navier, a los pequeños movimientos variados de traslación de  una  esfera  sólida,  sumergida  en  una  masa  y  adherente  a  la  capa  fluida  que  la contacta”.

La  primera  parte  de  la  tesis  de Louis Bachelier,  “Teoría  de  la  Especulación”, contiene una descripción detallada de los productos disponibles en aquel momento en el mercado de títulos en Francia, tales como contratos a plazo (forward) y opciones. Sus especificaciones fueron completamente diferentes de los productos correspondientes en el mercado americano; por ejemplo todos los pagos estaban relacionados con una fecha dada y no se tenía necesidad de pensar en el descuento o cambio numerario. Después de los preliminares financieros Louis Bachelier comenzó con la modelación matemática de los  movimientos  y  fórmulas  de  los  precios  de  los  títulos,  el  principio  de  que  “La esperanza del especulador fuera nula”. Obviamente, interpretaba mediante la esperanza condicionada dada por la información pasada. Es decir, implícitamente aceptaba como axioma  que  el  mercado  valoraba  los  activos  utilizando  una medida “martingala”.  La hipótesis  posterior  era  que  el  precio  evolucionaba  como  un  proceso  de  Markov continuo,  homogéneo  en  el  espacio  y  el  tiempo.  Louis  Bachelier  demostró  que  la densidad de las distribuciones unidimensionales de este proceso satisfacía la relación,ahora  conocida  como  la  ecuación  Chapman-Kolmogorov  y  observó  que  la  densidad Gaussiana  con  la  varianza  lineal  creciente  resolvía  esta  ecuación.  La  cuestión  de  la unicidad  no  se  discutía  pero  Louis  Bachelier  proporcionó  algunos  argumentos  para confirmar esta conclusión. Llegó a la misma ley considerando el proceso de los precios como  límite  de  las  trayectorias  aleatorias.  Louis  Bachelier  también  observó  que  la familia de funciones de distribución de los proceso satisfacía la ecuación del calor.

El modelo se aplicó para calcular algunos precios de las opciones. Teniendo en cuenta las opciones americanas y dependientes de la trayectoria, Louis Bachelier calculó la probabilidad de que el movimiento Browniano no excediera un nivel fijo y obtuvo la distribución del supremum del movimiento Browniano.

La tesis de Louis Bachelier se puede considerar como el origen de la “financiera matemática moderna” y de varias ramas importantes de cálculo estocástico tal como la teoría  del  movimiento  Browniano,  procesos  de  Markov  (1856-1922),  procesos  de difusión e incluso de la convergencia libre en los espacios funcionales. Evidentemente, el  razonamiento  no  fue  riguroso  pero  a  nivel  intuitivo  básicamente  correcto.  Esto  es realmente asombroso ya que a comienzos del siglo XX los fundamentos matemáticos de la  probabilidad  no  existían.  A.  Markov  comenzó  sus  estudios  sobre  lo  que  ahora llamamos cadenas de Markov en 1906 y el concepto de esperanzas condicionadas con respecto a una variable arbitraria o σ-álgebra fueron desarrollados en 1930.

El informe de Henri Poincare, firmado por P. Apell y J. Bousssines, tribunal que juzgó  la  tesis  de  Louis  Bachelier  contiene  un profundo  análisis  no  solamente  de  los resultados  matemáticos  sino  también  una  penetración  en  la  leyes  de  mercado.  En contraste  con  la  leyenda  de  que  la  nota  de  evaluación  “honorable”  significaba  algo como que los examinadores fueron escépticos respecto a la tesis, esta parece que fue la nota más alta que podía habérsele reconocido a una tesis que estaba esencialmente fuera de las matemáticas y que tenía algunos argumentos lejos de ser rigurosos. La nota de excelente” usualmente se asignaba a memorias que contenían la solución al cambiante problema en una disciplina matemática bien establecida.

Creemos  que  el  informe  mostraba  que  H. Poincare  era  un  lector  atento  y benévolo  y  su  moderada  crítica  fue  positiva.  La  crítica  que  expresó  fue  que  Louis Bachelier no estudiaba con detalle la relación descubierta de los procesos estocásticos con  las  ecuaciones  en  derivadas parciales,  podía  interpretarse  que  fue   realmente intrigado, viendo allí ulteriores perspectivas. El informe de Poincare y la conclusión fue publicar la tesis en las revistas prestigiosas de aquel tiempo, contradecía lo que algunos consideraron  como  la  decepción  de  “honorable”.  Se  podía  conjeturar  que  Louis Bachelier  no  fue  galardonado  con  la  nota  de  “muy  honorable”  debido  a  una presentación  más  débil  de  su  segunda  tesis  (pero  el  correspondiente  informe  de  P. Appell fue muy positivo).

No es necesario decir que las ideas innovadoras de Louis Bachelier estuvieron por encima del nivel prevaleciente en la teoría financiera existente en aquella época lo cual fue ciertamente percibido.

Los  notables  resultados  obtenidos  por  Louis  Bachelier  en  su  tesis  sobre  la “Teoría  de  la  Especulación”  en  1900  permanecieron  en  una  especie  de  “limbo científico” durante más de 75 años, hasta que el célebre economista premio Nóbel Paul Samuelson influenciado por el insigne profesor de estadística William Feller, corrigió a Louis Bachelier, en 1965, reemplazando el movimiento Browniano por su exponencial (geométrica),  evitando  así  obtener  como  resultados  valores  negativos  del  modelo  y,luego comenzó a jugar un papel esencial en el cálculo de los precios de las opciones mediante la famosa fórmula de Black-Scholes en 1973.

Desde  1980  se  ha  comprobado  la  explosión  de  lo  modelos  matemático financieros  junto  con  los  productos  financieros,  todos  a  su  vez  llegados  a  ser  más complejos.

Toda  esta  tecnología  existe  debido  a  que  algunos  conceptos  matemáticos financieros  simples  y  universales  han  permitido  construir  una  “Teoría  matemática financiera de las leyes de los mercados” basada en principios tales como que los precios de  un  activo  a  lo  largo  del  tiempo  tienen  la  estructura  probabilista  de  un  juego equitativo, es decir, una “martingala”. A partir de este concepto, poco a poco, se ha ido construyendo  toda  la  teoría  de  los  procesos  estocásticos,  pilar  sobre  el  cual  se  ha desarrollado  la  “Teoría  Matemática  del  Arbitraje”  por  Delbaen  y  Schahermayor  en 1994.

Desde  comienzos  de  1990,  la  matemática  y  particularmente  la  teoría  de  la probabilidad han jugado un papel creciente, en general y particularmente, en el campo económico financiero actuarial influenciado por las investigaciones de A. Kolmogorov relativas a los procesos temporales continuos.

A  partir  de  la  tesis  de  Louis  Bachelier  surgió  el  nuevo  nacimiento  de  los procesos estocásticos y, por otra parte, la estrategia de tiempo continuo para la cobertura de riesgos financieros.

Aunque Louis Bachelier estableció en su tesis la conexión entre el precio de los instrumentos financieros y algunos cálculos de probabilidad relativos a ciertos procesos estocásticos, el problema de la cobertura correspondiente al riesgo fue resuelto mediante los  trabajos  de  Black/Scholes/Merton  en  1973.  En  aquella  época  la  idea  de diversificación  estaba  vigente  debido  a  los  trabajos  pioneros  de  Markowitz  en  1952 (Nóbel de Economía en 1990) relativos a la optimización de la cartera.


IV. RELACIONES  DEL  CÁLCULO  CLÁSICO  CON  EL  CÁLCULO
ESTOCÁSTICO

Respecto de las relaciones del “Cálclulo Clásico” con el “Cálculo Estocástico” procede hacer la siguientes consideraciones.

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Ahora bien, esta relación clásica no es aplicable para las funciones reales que se presentan  en  la  Matemática  Financiera.  Cuando  el  matemático  alemán  Weierstrass construyó  una  función  real  continua,  pero  no  diferenciable  en  ninguna  parte,  esto  se consideró  como  una  curiosidad  matemática.  Desgraciadamente,  esta  “curiosidad”  está en el corazón de la Matemática Financiera. Los gráficos de los tantos de cambio, de los tantos de interés y de los activos líquidos son prácticamente continuos, como los disponibles  hoy  en  día  que  presentan  datos  de  alta  frecuencia,  pero  son  de variación  ilimitada  en  todo  el  intervalo  de  tiempo.  En  particular,  no  son diferenciables  en  ninguna  parte.  Por  tanto,  el  Cálculo  Clásico  necesita  una extensión a funciones de variación no acotada, tema estudiado por los matemáticos durante mucho tiempo.

Este déficit se cubrió mediante el desarrollo del “Cálculo Estocástico” que se  puede  considerar  como  la  teoría  de  la  diferenciación  e  integración  de  los procesos estocásticos.

Existen numeros libros recientemente publicados que desarrollan ampliamente el cálculo  estocástico  con  énfasis  sobre  las  aplicaciones  a  los  mercados  financieros  a diferentes niveles de sofisticación matemática (Föllmer y Schied, 2010).

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Esta no fue, la nuevamente aparición del segundo término, lo que creó la principal dificultad para desarrollar el Cálculo Estocástico. Para funciones de variación cuadrática finita este término F”es una integral bien definida Lebesgue-Stieltjes. El cambio real consiste en dar un significado preciso a la primera integral donde tanto el argumento del integrando y del integrador son de varición  no-acotada  sobre  todo  el  intervalo de tiempo, arbitrariamente pequeño. Esta cuestión fue resuelta en primer lugar por Itô, de ahí  el  nombre  de  la  “fórmula  de  Itô”  para  la  relación (1) y la integral  de Itô para la primera integral de la (2).

Utilizando el enfoque a lo largo de una trayectoria de Föllmer, podemos deducir la fórmula de Itô y la integral de Itô sin recurrir a la teoría  de  la  probabilidad. Observando un proceso estocástico “paso a paso”, se puede dar un significado preciso a las expresiones (1) y (2) utilizando solamente instrumentos elementales del análisis real clásico.  Solamente  se  necesita  la  teoría  de  la  probabilidad, posteriormente  cuando consideramos la acción recíproca de todas las trayectorias de los procesos estocásticos como difusiones y semimartingalas.

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Observemos que la regla de la multiplicación final es la crucial que da el término complementario.

Un  argumento  análogo,  nos  proporciona  una  regla  cuando  tenemos  varios procesos Itô basados en el mismo movimiento Browniano.

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V. CONCLUSIONES

Después de haber realizado una revisión de los métodos cuantitativos a lo largo del tiempo se observa que el Lema de Ito, es el instrumento central de la diferenciación en  el  cálculo  estocástico.  No  son  demasiadas  cuestiones  básicas  las  que  hay  que recordar  para  poder  utilizarle.  En  primer  lugar,  la  fórmula  ayuda  a  determinar  las diferenciales  estocásticas  para  los  derivados  financieros  dados  los  movimientos  del activo subyacente. En segundo lugar, las fórmulas son completamente dependientes de la definición de la integral de Ito. Esto significa que las igualdades se deben interpretar dentro de la equivalencia estocástica. Finalmente, desde un punto de vista práctico, se debe  recordar  que  las  fórmulas  estándar  utilizadas  en  el  cálculo  determinista proporcionan  resultados  significativamente  diferentes   de  los  obtenidos  mediante  el cálculo  estocástico.  En  particular,  si  se  utilizan  las  fórmulas  estándar,  esto  supondría que todos los procesos en observación tendrían volatilidad infinitesimal nula. Por otra parte, hemos visto que ésta no es una hipótesis adecuada cuando se trata de valorar el riesgo utilizando los derivados financieros.

Fuente:https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4749588.pdf

Cálculo de reservas matemáticas

Continuando con los seguros tradicionales de vida individual, en esta publicación veremos  algunos sistemas de cálculo de las reservas matemáticas, así como las distintas opciones que existen en estos seguros en caso de falta de pago de primas.

1.- Aspectos Generales

En el momento de la emisión de una póliza de seguro por muerte o una póliza por sobrevivencia el asegurador se compromete a pagar una suma asegurada, mientras que el asegurado por su parte se compromete al pago de las correspondientes primas. La reserva surge como un medio para medir el compromiso o deuda de la aseguradora con respecto a un grupo de pólizas en un tiempo posterior a la fecha de emisión y se define como el exceso del valor presente de la obligación futura de la aseguradora sobre el valor presente de las primas netas a recibir. A este método se le conoce como Método Prospectivo.

Un segundo método, equivalente al anterior, es el llamado Método Retrospectivo, el cual expresa la reserva como el exceso del valor acumulado de las primas pagadas sobre el costo acumulado de los beneficios proporcionados. El nombre retrospectivo se debe al uso de primas y beneficios pasados.

Para el desarrollo de las fórmulas en estos métodos, se asume la duración t como un número entero, razón por la cual la reserva se asocia con el final del año de la póliza y se llama reserva terminal.

2.- Sistemas de Cálculo de Reservas Terminales

         PRIMA NETA NIVELADA:

Cuando el cálculo de la reserva involucra primas netas de montos uniformes y está basada en la mortalidad y en un interés supuesto usados en el cálculo de estas primas netas, la reserva resultante es conocida como “Reserva de prima neta nivelada”.

Por ejemplo, la reserva en el tiempo t para una póliza ordinaria de vida de una unidad emitida a (x), se obtiene de sustraer del valor presente de los beneficios futuros el valor presente de las primas futuras.

Reservas matemáticas PNN 0

Reservas matemáticas PNN 1

Reservas matemáticas PNN 2

Reservas matemáticas PNN 3

Reservas matemáticas PNN 4

AÑO TEMPORAL PRELIMINAR COMPLETO:

Cuando se usa el sistema de reserva de prima neta nivelada como base de valoración de las obligaciones de la compañía con sus asegurados, el recargo disponible para gastos es una cantidad consistente en la diferencia entre la prima cobrada al cliente (prima comercial) y la prima neta nivelada. Dicha diferencia es también una cantidad nivelada, la compañía recibe para gastos la misma cantidad año con año. Sin embargo, en la práctica los gastos realmente no se incurren en forma igual cada año; en el caso del negocio de vida individual las comisiones pagadas a los agentes son decrecientes con el tiempo. Como naturaleza de este ramo, que es el más intangible de los seguros, en la venta de un seguro a largo plazo el agente tiene que hacer un esfuerzo grande para vender una póliza, razón por la cual las comisiones de primer año y otros incentivos como son bonificaciones adicionales por volumen y calidad de las ventas, son considerablemente más altos que la de los años subsiguientes. Igualmente, por el lado de la administración en el primer año los gastos de selección de riesgos, de emisión de las pólizas, su colocación en reaseguros, hacen en conjunto que los gastos de adquisición y administrativos de primer año sean sumamente altos en comparación con los de los años que siguen. De acuerdo con esto hay una deficiencia en el primer año, la cual debe ser suplida o financiada temporalmente con parte del capital del asegurador, esperando que ese capital usado para el financiamiento de la nueva producción sea retornado en los años posteriores de las pólizas, cuando el recargo referido sea más que el suficiente para los gastos de ese año, dejando un remanente para amortizar el “préstamo” o financiamiento del primer año. Esto es más serio aún en el caso de una compañía recién formada, o en el de una compañía pequeña, ambas con capitales de trabajo relativamente pequeños, pues éstas necesitan descontar de su capital de trabajo, una porción para el financiamiento de nuevos negocios, pudiendo llegar a ser para ellas un problema.

Esta situación podría ser aliviada en parte mediante el uso de un sistema de reserva que modifique el sistema de prima neta nivelada, el cual reconozca la realidad de la incidencia decreciente de los gastos, aceptando una prima de primer año menor que la neta nivelada, y en consecuencia un recargo para gastos más grande que el nivelado.

En cualquier sistema modificado como el planteado, la secuencia de la prima neta nivelada P, es sustituida durante un número especificado de años, por una prima neta modificada αx, seguida por una serie de primas de renovación βATPC. Naturalmente αx < P, por lo que en consecuencia βATPC > P.

El período de modificaciones es k. Si k es igual a “m” o a “n” entonces se tiene una serie de pagos como la siguiente:

Series de pago

De acuerdo con lo anterior podemos buscar la fórmula para el cálculo de cualquier reserva modificada, en donde solamente se reduce la prima neta nivelada de primer año, para liberar parte de ella y de esta manera tener mayor disponibilidad para hacerle frente a los gastos del primer año. Basados en el caso de k=m, entonces:

ATPC general

La ecuación anterior dice que si se escoge un período de modificación de k años; αx, que es la prima que artificialmente ingresa al principio del primer año, sumada al valor presente de la prima de renovación βATPC, también usada como artificio, y que se paga a partir del principio del segundo hasta el principio del último año del período de modificación, es decir por un año menos de k, para que sea compensatorio, tiene que ser igual al pago de una prima nivelada original, pagadera por anticipado durante el período de modificación.

De la ecuación anterior se obtiene la prima de renovación:

ATPC 1

ATPC 2

La ecuación (1) nos dice que βATPC es igual, por hacer una comparación financiera, a la cuota de amortización, descontada con interés y mortalidad, al momento de emitirse la póliza, de la deuda contraída por la compañía en el primer año, a pagarse en los próximos k-1 años del período de modificación. La deuda es igual al valor presente de los pagos originales P, menos la prima neta usada αx, y la anualidad por la que la dividimos es el valor actual de 1 unidad monetaria pagadera en forma vencida por los k-1 años a los que nos hemos referido.

A este sistema de cálculo de las reservas terminales basados en una prima modificada y una de renovación calculadas en base a una prima neta nivelada se le conoce como “Año Temporal Preliminar Completo”.

Encabezado ATPC

Reservas terminales ATPC 1

Note que el factor “P” representa la prima neta nivelada dependiendo de cada uno de los planes de seguros (Vida entera, Dotal puro, Temporal y Dotal). Así, el valor de la prima neta de renovación variará únicamente de acuerdo al valor que tome la prima neta nivelada.

Reservas terminales ATPC 1.1

Reservas terminales ATPC 2

Reservas terminales ATPC 3

Reservas terminales ATPC 4

Reservas terminales ATPC 5

Reservas terminales ATPC 6

3.- Reserva Media (Reserva de Balance):

La definición de reserva matemática ha sido anunciada únicamente para valores enteros de la variable t (años transcurridos después de la emisión de la póliza), es decir en los aniversarios de la estipulación de los contratos. Sin embargo, no todas las pólizas son emitidas en un mismo día del año y por lo tanto es preciso establecer una definición que permita el cálculo de las reservas en la fecha del inventario anual, generalmente el 31 de diciembre. En esta fecha no todas las pólizas tienen un número entero de años de vigencia; por el contrario, muy pocas serán las que presentan esta característica por haber sido contratadas ese día. Esta realidad ha motivado que se introduzca un nuevo concepto de reserva matemática, llamada de balance o reserva media, que consiste en considerar precisamente una media. Quiere decir que, al ser distribuidas todas las pólizas durante el año, cada una de ellas puede ser considerada, en promedio, emitida al final del primer semestre, de modo que al final del año, su reserva matemática será la suma del 50% de la reserva del año anterior (t-1) y el otro 50% de la reserva del año en curso t, aparte de que deberá agregarse por concepto de transporte de prima la mitad de la prima anual correspondiente al año t.

En estas condiciones, la siguiente fórmula da un resultado muy aproximado de la llamada reserva de balance o reserva matemática media:

Reserva media PNN

Notemos que el término “P” se refiere a la prima neta nivelada calculada según el plan tradicional de vida individual.

Reserva media ATPC

Reserva media simbología

4.- Otras opciones por Falta de Pago de Primas en el Seguro de Vida:

En general los Seguros de Vida Entera y las Pólizas Dotales tienen las siguientes opciones:

4.1-Préstamos Automáticos para pago de primas

El asegurado, con la garantía de su póliza y transcurrido un tiempo estipulado en las condiciones del contrato se le puede otorgar préstamos automáticos para el pago de primas no pagadas, a un interés generalmente estipulado en la póliza por lo regular inferior al interés bancario promedio del mercado. El total de préstamos que se pueden recibir es el equivalente al monto valor efectivo de la póliza (Valor de Rescate).

4.2-Capital de Rescate

Las compañías de seguros de vida ofrecen valores garantizados a los asegurados que desean abandonar el plan de seguro o a aquellos que no pueden continuar pagando las primas. Estos valores son, en cualquiera de sus formas, actuarialmente equivalentes al valor en efectivo de la póliza, es decir, al monto de dinero al contado que recibe el asegurado en caso de interrupción. Este valor en efectivo se conoce generalmente con el nombre de Valor de rescate de la póliza.

Determinar el valor de rescate es una tarea compleja y, por lo general, se tiende a equiparar este valor a la reserva matemática de la póliza, lo que no es apropiado en la mayoría de los casos. En primer lugar, la dificultad estriba en la existencia de gastos iniciales que aún no han sido totalmente amortizados, y en segundo lugar, puede existir una posible antiselección, que aunque resulte difícil de evaluar no puede ser descartada.

Si bien es cierto que los asegurados que desean interrumpir sus pólizas deben recibir una parte razonable de las reservas, es necesario fijar el monto de tal manera que los asegurados que continúan con sus pólizas no se vean afectados por una situación financiera desfavorable.

Cabe señalar que no existe una norma general para que las compañías calculen el valor de rescate. En ciertas clases de pólizas en las que las reservas son muy pequeñas como en el caso de los seguros temporales, no se suele garantizar dicho valor.

Para resumir lo expuesto anteriormente, el valor de rescate al final del año t, se define como:

Valor de rescate

4.3-Seguro Saldado

Esta operación resulta de un caso de rescisión de contrato y consiste en tomar el capital de rescate como una prima única que el asegurado deja en poder del asegurador (sin más obligación de pagos de primas) para tener un seguro vigente de las mismas características que el rescindido, en cuanto a su duración, pero por un capital reducido que resulte suficiente o adecuado para dicha prima única pagada.

En otras palabras, en el Seguro Saldado, el asegurado utiliza su valor de rescate para continuar con el seguro, conservando el plazo contratado pero disminuyendo su suma asegurada.

Fórmulas de cálculo del seguro saldado para los diferentes seguros de vida individual tradicionales:

Seguro saldado

Seguro saldado simbología

4.4-Seguro Prorrogado

La póliza saldada no es la única opción que tiene un asegurado que deja de pagar las primas. Otra opción que se brinda con frecuencia es el seguro prorrogado. En el momento en que se interrumpe el pago de primas, el valor de rescate se emplea para adquirir un seguro temporal a prima única por la misma suma asegurada de la póliza original pero con una duración limitada, que es igual o inferior a la duración restante de la póliza original.

En otras palabras, el concepto del seguro prorrogado se contrapone al de la póliza saldada. En la fórmula de la póliza saldada se busca un nuevo capital reducido para la duración fija del plan asegurado, mientras que en la del seguro prorrogado se deja inalterado el capital asegurado y se busca el plazo reducido correspondiente a un seguro temporal.

Seguro prorrogado 1

Seguro prorrogado 2

En los seguros mixtos, donde el valor de rescate crece rápidamente, puede ocurrir que este valor sea mayor que la prima única de un temporal con el mismo lapso restante de duración de la póliza original. En este caso, se compra un capital diferido (dotal puro o simplemente dote) con la diferencia. Es decir, la duración del nuevo seguro temporal es “n-t” (lapso restante de la póliza original), y el capital a determinar del seguro adicional, entregado al final de la vigencia del seguro, es:

Seguro prorrogado dote

Fuente: Quiñónez Martínez, Erick J.; Vallecillo Ríos, Nahum I.; Núñez Castro, Roberto E..Monografía de titulación: Diseño y creación de un programa de valuación actuarial de reservas y prima de tarifa en microsoft excel para los planes tradicionales de vida individual.2008. Nicaragua.

 

Tarificación de los seguros tradicionales de vida individual

Dado que ya conocemos un poco del mercado asegurador y de la carrerera Actuarial en Nicaragua, ahora les comparto una forma de cálculo de tarifas para los seguros tradicionales de vida individual, no sin antes abordar algunas generalidades de estos seguros.

1.- Aspectos Generales

Todo seguro de vida, como cualquier seguro, tiene sus raíces en las necesidades básicas de seguridad del ser humano, quien prefiere sustituir el riesgo e incertidumbre por la estabilidad y la certeza, incluso a cambio de algún sacrificio. Esto lo logra esencialmente sustituyendo una pérdida financiera probable por un costo cierto, permitiendo que muchas personas expuestas al riesgo paguen por las pérdidas que sufren algunos desafortunados. De esta manera, el modelo de seguros se basa en que los mismos clientes son contribuyentes solidarios de los infortunios o adversidades sufridas por aquellos que incurren en el siniestro en cuestión, dentro del grupo, lo que se conoce como “compensación de riesgos”.

Según Black & Skipper (2000), en términos matemáticos, la “ley de los grandes números”, aplicada a los seguros, postula que mientras mayor sea el número de exposiciones (vidas aseguradas) para un riesgo similar (la muerte), menos se desviará lo observado de lo esperado. Por tanto, mientras se incrementa el número de exposiciones, el riesgo y la incertidumbre se reducen y de este modo, las empresas aseguradoras pueden ser capaces de anticipar la demanda de siniestros (riesgo común) con un buen grado de exactitud.

Los seguros de vida se dividen esencialmente en dos grupos por el tipo de protección que brindan:

Los seguros en caso de muerte:

  • Planes de Vida Entera y
  • Planes Temporales

Los seguros en caso de supervivencia:

  • Planes de Dote Pura
  • Planes de Renta Vitalicia, etc.

A estos se puede agregar un tercero que sería el seguro mixto, o Dotal, que no es más que una combinación de un temporal y una dote pura. Los planes mencionados anteriormente se conocen como “Planes tradicionales”.

Los Planes no tradicionales, en general, son planes de seguro y ahorro, siendo los ahorros sensitivos a los intereses que devengan porque están ligados o dependen principalmente de los rendimientos de las inversiones de los fondos manejados por los aseguradores, que además pueden dar participación de las utilidades en mortalidad, por ejemplo. Además, son flexibles en cuanto a las sumas aseguradas y tanto la frecuencia como el monto de pago de primas es optativo. Estos son los planes que se conocen con el nombre genérico de “Vida Universal” y funcionan bien en un mercado de valores desarrollado, que es lo que permite que puedan participar los asegurados de los rendimientos de las inversiones de las aseguradoras.

2.- Planes Tradicionales de Vida Individual

Planes de Vida Entera: Proporcionan protección para toda la vida del asegurado, la póliza vence para su pago sólo en caso de fallecimiento de la persona asegurada, cualquiera que sea la fecha en que el asegurado fallezca. Las pólizas de vida entera comprenden el Ordinario de Vida y Vida a Pagos Limitados.

Ordinario de Vida. En este plan las primas se pagan durante toda la vida del asegurado. La póliza ordinaria de vida puede considerarse como el tipo de póliza de seguro de vida que da protección completa con las primas más bajas por ser repartidas durante el tiempo de vida del asegurado.

Vida Pagos Limitados. Estipula el pago de primas solamente durante un número específico de años pactados entre ambas partes (o hasta la muerte previa). Otra modalidad de pago es a una edad alcanzada, por ejemplo a edad de 60 años, 65 años, etc.

Vida Pago Único. Es sencillamente un caso especial del plan vida a pagos limitados, reduciéndose a uno el número de pagos. La protección efectiva del seguro es sustancialmente el valor nominal de la póliza, y el elemento de inversión es correspondientemente elevado. Dichos contratos, por lo tanto, son comprados principalmente para fines de inversión ya que una póliza de prima única ofrece las ventajas de un alto grado de seguridad, un rendimiento de interés satisfactorio y fácil convertibilidad a efectivo por sus valores garantizados.

Planes Temporales: Una póliza temporal es aquella bajo la cual la suma asegurada es pagadera solamente si la persona asegurada muere dentro del período establecido. Generalmente este tipo de planes se pagan durante todo el período de cobertura, pero algunas compañías ofrecen planes temporales a pagos limitados, cuando el plazo de cobertura es bastante largo.

Planes Dotales: Otra modalidad de los planes dotales es el dotal o Dotal Mixto que establece el pago de la suma asegurada en caso de muerte o sobrevivencia del asegurado, es decir, es la suma de un temporal y un dotal puro. De igual manera que los planes anteriores, el asegurado puede pagar durante toda la cobertura del plan, hacer pagos limitados o un sólo pago.

3.- Primas de Riesgo, de Ahorro y de Tarifa (comercial)

La prima neta nivelada o constante está compuesta de dos partes, una destinada para que el asegurador cubra el riesgo de muerte de cada año, que toma el nombre de Prima de riesgo y la parte complementaria llamada Prima de ahorro, destinada como su nombre lo indica a formar la reserva, ganando el interés técnico correspondiente.

La Prima Neta Nivelada, más los recargos nivelados para gastos de administración, de adquisición y de cobranza determinan la Prima de Tarifa, que también se denomina Prima Bruta o Prima Comercial.

Los elementos que intervienen en el cálculo de las primas de tarifas en el seguro de vida individual son:

  • Mortalidad
  • Tasa de Interés Técnico
  • Gastos de Administración
  • Gastos de adquisición
  • Gastos de cobranza

Tasa de Mortalidad:

Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1. Esta función se encuentra reflejada en las tablas de mortalidad (denotada por qx), las cuales son un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida. Es por consiguiente una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos.

Las tablas de mortalidad, además de las tasas de mortalidad, reflejan los valores de los siguientes elementos:

Variable “x”: Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Generalmente comienza a la edad cero (0), recién nacidos o que no han cumplido un año de edad, y termina en una edad extrema de la tabla, a partir de la cual no hay sobrevivientes y se denota como w(omega).

Función “ lx”: Indica el número de sobrevivientes a cada edad x. Generalmente, a la edad inicial, comienza por un número redondo, tal como 10 millones, 1 millón o 100 mil sobrevivientes, los cuales van reduciéndose año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número mínimo de sobrevivientes a la edad (w-1), o sea, lw-1 son los sobrevivientes que están destinados a fallecer a esa edad, es decir, de no alcanzar la edad w.

Función “dx”: Indica el número de personas que fallecen a la edad x y se representa por la diferencia entre el número de sobrevivientes a las edades consecutivas x y x+1, es decir,   dx = lx – lx+1 o el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el siguiente aniversario.

Función “ px”: Indica la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x+1. Se representa por: px = lx+1 / lx.

Conmutativos: Son relaciones matemáticas artificiosas que ayudan a simplificar los desarrollos algebraicos. Sus valores son calculados en base a una determinada mortalidad y una tasa de interés denominada tasa de interés técnico.

A continuación enuncio los principales símbolos conmutativos:

Conmutativos

Gastos de administración:

Son los relacionados con las necesidades técnicas y administrativas para el buen funcionamiento de la entidad aseguradora. Entre estos recargos de gestión interna figuran en forma preponderante los sueldos de los empleados y los gastos generales. Se designan por “δ”, son proporcionales a la prima comercial anual, y se asume que son gastos anuales que duran cuanto dura el seguro.

Gastos de adquisición:

Se refieren a las comisiones que paga la entidad aseguradora al agente, corredor o productor de seguros y otros gastos que corresponden a la gestión del negocio como sobrecomisiones de venta a supervisores o gastos indirectos. Los gastos propiamente de comisiones, que son el principal componente de estos gastos, son cantidades que se pagan a lo largo de un período de años, generalmente 10, en proporción a la prima comercial anual; pero para efectos de cálculo, tanto las comisiones como los otros gastos de adquisición son susceptibles de representarse por una sola suma, pagadera de una sola vez en proporción a la prima anual. Estos gastos se denotan por Símblo de gastos de adquisición

Gastos de cobranza:

Son gastos referidos a las gestiones que realiza la compañía aseguradora encaminadas a conseguir el pago de la prima por parte del asegurado. Está constituida por la comisión que se paga a los cobradores, es una cantidad proporcional a la prima comercial anual y se representa por Símbolo de gastos de cobranza Esta comisión es pagadera durante el período “m” del pago de primas.

Fórmulas de primas únicas

Fórmulas de primas netas niveladas

Primas de tarifa

Fórmula de prima comercial

Prima comercial 1

Es importante destacar que la fórmula arriba descrita es la fórmula general para cualquier prima de tarifa, bajo el procedimiento de cálculo planteado, siendo el único factor de diferenciación el valor de la Prima neta nivelada (P), la cual variará dependiendo del tipo de seguro contratado por el asegurado.

Fuente: Quiñónez Martínez, Erick J.; Vallecillo Ríos, Nahum I.; Núñez Castro, Roberto E..Monografía de titulación: Diseño y creación de un programa de valuación actuarial de reservas y prima de tarifa en microsoft excel para los planes tradicionales de vida individual.2008. Nicaragua.