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Funciones o símbolos de conmutación

La presente publicación es con el objetivo de exponer el origen y la aplicación de los diferentes símbolos conmutativos usados por los actuarios.

ÍNDICE

I. TABLAS DE MORTALIDAD
1. Introducción
2. La interpretación determinista
3. Construcción de tablas de mortalidad
II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
III. RENTAS VITALICIAS
1. Rentas constantes
2. Rentas variables
IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO


I. TABLAS DE MORTALIDAD

1. Introducción
Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo concreto fallezca en un determinado período depende de muchos factores, como por ejemplo su edad, sexo, estado de salud, factores genéticos y ambientales, etc. En efecto, es evidente que la mortalidad aumenta con la edad. También se sabe que la mortalidad femenina, a igualdad de los restantes factores, es inferior a la masculina.

Por otro lado, las estadísticas y censos relativos a una población suelen registrar las edades y el sexo de sus componentes, pero no su estado de saludad ni su posible exposición a factores de riesgo genéticos o ambientales. Además, si la población es suficientemente grande entonces el principal factor determinante de la mortalidad resulta ser la edad de los individuos. Por esta razón, hemos considerado únicamente la edad como factor determinante de la mortalidad. Llamaremos población homogénea a una población en la que se verifique la propiedad anterior.

Una tabla de mortalidad contiene los elementos básicos que permiten calcular las probabilidades de muerte y supervivencia en una población homogénea, a partir de las cuales se llevan a cabo los cálculos actuariales.

2. La interpretación determinista
Los principales valores que aparecen en una tabla de mortalidad son: qx, lx y dx , donde el primero resulta ser la probabilidad de que un individuo de edad x muera en el transcurso de un año, y los dos siguientes son, respectivamente, el número medio de individuos vivos a la edad x y el número medio de individuos que fallecen entre las edades x y x+1, de un colectivo inicial de l0 recién nacidos. Se trata, por tanto, de probabilidades y de esperanzas matemáticas asociadas con ciertas variables aleatorias. Por esta razón, la interpretación anterior (que es la correcta) se le suele denominar interpretación estocástica de la tabla de mortalidad.

Existe asimismo una forma alternativa y sencilla de interpretar una tabla de mortalidad, según la cual los valores de las lx coinciden exactamente con el número de individuos del colectivo inicial de l0 recién nacidos que alcanzan con vida las distintas edades. Según esta interpretación, dx sería el número exacto de individuos del colectivo inicial de l0  recién nacidos que fallecen entre las edades x y x+1. Asimismo qx se interpreta como la proporción de individuos del colectivo inicial de l0 recién nacidos que habiendo alcanzado con vida la edad x mueren antes de cumplir un año más. Observemos que las probabilidades y esperanzas matemáticas de la interpretación estocástica se han convertido en proporciones y valores exactos. Por esta razón se habla de la interpretación determinista (o clásica) de la tabla de mortalidad.

3. Construcción de tablas de mortalidad
En la práctica, casi todas las tablas de mortalidad se construyen estimando en primer lugar la columna de los tantos de mortalidad qx , y calculando posteriormente las demás. Como es natural, las probabilidades qx se estiman a partir de las frecuencias relativas de los mismos sucesos. Es necesario, por tanto, considerar para cada x un gran número de individuos de esa edad, y contabilizar cuántos de ellos mueren en el transcurso de un año. Los datos necesarios se pueden obtener del Censo y de las estadísticas de defunciones del Registro Civil.

Las estimaciones obtenidas de esta forma no suelen ser muy fiables, ya que los datos de partida pueden estar afectados por diversos tipos de errores. También pueden presentar picos o altibajos atribuibles exclusivamente al azar. Asimismo, tanto los censos como los registros de defunciones suelen sufrir sesgos en la declaración de la edad, ya que a menudo se observa que abundan más las edades terminadas en 0 ó 5 que las edades restantes. Por estas razones se procede, en una segunda fase, a suavizar los datos originales, es decir, a sustituir los valores brutos de los qx por nuevos valores que presenten un desarrollo más regular, sin altibajos y saltos injustificables.

Existen técnicas estadísticas específicas para suavizar series de datos, siendo quizás la más conocida la técnica de las medias móviles, sin embargo, los actuarios suelen preferir suavizar los valores brutos mediante el ajuste de alguna función matemática que resulte adecuada para representar la mortalidad. Lo más habitual es recurrir a la expresión de alguna fuerza de mortalidad teórica, y ajustar sus parámetros por el método de los mínimos cuadrados, es decir, de forma que se minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores brutos de los qx y los correspondientes valores ajustados. Para edades adultas es habitual considerar la ley de mortalidad de Makeham o alguna otra parecida pero con mayor número de parámetros.

En la práctica, los ajustes suelen llevarse a cabo por tramos de edad. Como mínimo es habitual distinguir tres tramos, uno para las edades infantiles, otro para las edades adultas y un tercero para las edades seniles.

Una vez que se dispone de los valores ajustados de los tantos de mortalidad qx se procede a calcular los demás elementos de la tabla.

Podemos decir entonces que la tabla de mortalidad es un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida. Es por consiguiente una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos.

La tabla está compuesta por columnas, unas con letras minúsculas y otras con mayúsculas.

Columnas con letras minúsculas

Variable “x”: Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Generalmente comienza a la edad cero (0), recién nacidos o que no han cumplido un año de edad, y termina en una edad extrema de la tabla, a partir de la cual no hay sobrevivientes y se denota como omega(omega)

Función “ qx”: Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ px”: Indica la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x+1.

Función “ lx”: Indica el número de sobrevivientes a cada edad x. Generalmente, a la edad inicial, comienza por un número redondo, tal como 10 millones, 1 millón o 100 mil sobrevivientes, los cuales van reduciéndose año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número mínimo de sobrevivientes a la edad (omega-1), o sea, lomega-1 son los sobrevivientes que están destinados a fallecer a esa edad, es decir, de no alcanzar la edad omega.

Función “ dx ”: Indica el número de personas que fallecen a la edad x o el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el siguiente aniversario.

Columnas con letras mayúsculas

Corresponden a los llamados símbolos de conmutación, es decir, a unas relaciones de artificios matemáticos que facilitan enormemente los cálculos actuariales. Estos símbolos no obedecen a nada conceptual, pero que combinados con factores financieros a una determinada tasa de interés anual conducen a obtener valores que ayudan a determinar fórmulas actuariales de fácil desarrollo y comprensión. En los siguientes acápites iremos abordando cada uno de éstos conmutativos.

Finalmente, cabe señalar que las tablas de mortalidad varían según las características y la cantidad de masa humana utilizada en la observación estadística y pueden ser: tablas de población general o de censos nacionales, tablas de asegurados, que son las usadas por las entidades de seguros, en la hipótesis de que todos o la mayor parte de los asegurados son personas seleccionadas, es decir, sometidas a exámenes médicos, cuando se trata de seguros para el caso de muerte. También hay tablas que separan a los asegurados por sexos, como también hay tablas especiales usadas sólo para el caso de vida como son los rentistas.

II. FACTOR DE ACTUALIZACIÓN ACTUARIAL
En este acápite abordaremos uno de los temas fundamentales de la matemática de los seguros de vida: la valoración actual de capitales futuros cuya cuantía y/o vencimiento dependen del acaecimiento de un suceso aleatorio, en este caso, la supervivencia de una persona.

Para realizar dichas valoraciones son necesarias bases técnicas que informen de la ley financiera y tipo de interés empleado y también de las probabilidades de los sucesos.

En cuanto a la ley financiera, emplearemos la de capitalización compuesta; el tipo de interés utilizado en los cálculos actuariales se denomina interés técnico, que no coincide necesariamente con el tipo de interés de mercado y es la rentabilidad que el segurador garantiza en sus operaciones de seguro; por último, las tablas de mortalidad nos proporcionarán las citadas probabilidades.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si sobrevive dentro de n años, es decir, si alcanza la edad x+n. La prima neta única que debería pagar sería:

dotal-puro-1

dotal-puro-2

La fórmula anterior es lo que se conoce como factor de actualización actuarial o factor demográfico financiero, el que naturalmente es menor que el factor de actualización financiero puro vn, precisamente por el riesgo de que al fallecer antes no recibiría el capital esperado. Se interpreta también como la prima neta única de un seguro dotal puro (capital diferido) que tendría que pagar una persona de edad x para recibir una suma asegurada de 1 unidad monetaria dentro de n años si sobrevive.

III. RENTAS VITALICIAS
Las rentas vitalicias se definen como un conjunto de capitales con vencimientos determinados cuya exigencia o pago se produce si en ellos se encuentra con vida una cabeza determinada. Pueden clasificarse en rentas constantes o rentas variables.

1. Rentas constantes
Se refieren a las rentas cuyos montos son iguales. Se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. La tarea como actuarios es calcular el valor actual de dichas rentas, el cual consiste en la prima neta única que debe satisfacer hoy una persona que desea percibir una renta anual mientras viva, en cualesquiera de las clases indicadas anteriormente. A continuación veamos el cálculo mencionado tomando de referencia una renta de 1 unidad monetaria:

renta-anticipada-1

renta-anticipada-2

renta-anticipada-3

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de rentas, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

renta-anticipada-4

renta-vencida-1

Como resultado de la observación, podemos establecer una regla mediante la cual los subíndices de las fórmulas expresan por sí solos lo siguiente:

– El subíndice de todos los denominadores indica la edad en que fue contratada la renta.
-El subíndice del único o primer término del numerador indica la edad en que se comienza a percibir o pagar la renta.
-Sólo en rentas temporales, el subíndice del segundo término del numerador indica la edad en que se deja de percibir o pagar la renta.

2. Rentas variables
Se refieren a las rentas cuyos montos no son iguales, los cuales pueden incrementar en progresión aritmética o geométrica. Al igual que las constantes, se clasifican en anticipadas o vencidas, y éstas a su vez en ilimitadas, temporales, diferidas y diferidas temporales. Para calcular el valor actual de dichas rentas, es necesario definir un nuevo conmutativo:

sx

Entonces, las primas netas únicas de las rentas variables, tanto en progresión aritmética como geométrica son:

Rentas variables en progresión aritmética:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…}. Su valor actual actuarial sería:

aritmetica-1

aritmetica-2

aritmetica-3

Rentas variables en progresión geométrica:
Sea una renta cuyos términos varían en progresión geométrica, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c*(1+h), el tercero c*〖(1+h)〗^2…; esto es, C={c,c*(1+h),c*〖(1+h)〗^2,…}. En este caso hay que modificar la tasa de interés técnico i por la siguiente:

i-modificada

También existe una segunda opción, y es la de modificar el factor de descuento financiero v en lugar de la tasa de interés técnico i. La fórmula sería:

v-modificada

Con lo anterior, el valor actual actuarial de dichas rentas sería:

geometrica-1

geometrica-2

geometrica-3

IV. SEGUROS PAGADEROS POR FALLECIMIENTO
En este acápite abordaremos los seguros tradicionales de vida individual, caracterizados porque el pago del capital estipulado en el contrato depende de la supervivencia o fallecimiento del asegurado. Los seguros tradicionales son: Vida entera, Temporales y Dotales.

Seguro de Vida Entera: Proporciona protección para toda la vida del asegurado, la póliza vence para su pago sólo en caso de fallecimiento de la persona asegurada, cualquiera que sea la fecha en que el asegurado fallezca.

Seguros Temporales: Una póliza temporal es aquella bajo la cual la suma asegurada es pagadera solamente si la persona asegurada muere dentro del período establecido.

Seguros Dotales: Otra modalidad de los planes dotales es el dotal o Dotal Mixto que establece el pago de la suma asegurada en caso de muerte o sobrevivencia del asegurado, es decir, es la suma de un temporal y un dotal puro.

Supongamos que una persona de edad x recibirá un capital unitario si su deceso se produce dentro del año, es decir, antes de alcanzar la edad x+1. La prima neta única que debería pagar sería:

temporal-1

temporal-2

La fórmula anterior corresponde a la prima neta única de un seguro temporal a un año que tendría que pagar una persona de edad x para que el beneficiario reciba una suma asegurada de 1 unidad monetaria si no sobrevive.

Ahora procederemos a calcular la prima neta única de los seguros de vida antes enunciados:

ultima

vida-2

vida-3

Aplicando la misma lógica anterior obtendríamos las primas netas únicas para el resto de seguros, de tal manera que las fórmulas resultantes serían:

vida-4

Seguros de vida con variación de suma asegurada en progresión aritmética:
Sea un seguro de vida individual cuyo capital asegurado varía en progresión aritmética, siendo el primer año de cuantía c, el segundo año c+h, el tercero c+2h…; esto es, C={c,c+h,c+2h,…,c+(ω-x-1)h}.

rx

Entonces, las primas netas únicas de cada uno de los seguros de vida individual tradicionales son:

vida-aritmetica-1

Bibliografía:
-Gil Fana, José Antonio; Heras Martínez, Antonio; Vilar Zanón, José Luis. Matemática de los seguros de vida. Fundación Mapfre.
-E. Palacios, Hugo. Introducción al cálculo actuarial. Mapfre.

Cálculo de reservas matemáticas

Continuando con los seguros tradicionales de vida individual, en esta publicación veremos  algunos sistemas de cálculo de las reservas matemáticas, así como las distintas opciones que existen en estos seguros en caso de falta de pago de primas.

1.- Aspectos Generales

En el momento de la emisión de una póliza de seguro por muerte o una póliza por sobrevivencia el asegurador se compromete a pagar una suma asegurada, mientras que el asegurado por su parte se compromete al pago de las correspondientes primas. La reserva surge como un medio para medir el compromiso o deuda de la aseguradora con respecto a un grupo de pólizas en un tiempo posterior a la fecha de emisión y se define como el exceso del valor presente de la obligación futura de la aseguradora sobre el valor presente de las primas netas a recibir. A este método se le conoce como Método Prospectivo.

Un segundo método, equivalente al anterior, es el llamado Método Retrospectivo, el cual expresa la reserva como el exceso del valor acumulado de las primas pagadas sobre el costo acumulado de los beneficios proporcionados. El nombre retrospectivo se debe al uso de primas y beneficios pasados.

Para el desarrollo de las fórmulas en estos métodos, se asume la duración t como un número entero, razón por la cual la reserva se asocia con el final del año de la póliza y se llama reserva terminal.

2.- Sistemas de Cálculo de Reservas Terminales

         PRIMA NETA NIVELADA:

Cuando el cálculo de la reserva involucra primas netas de montos uniformes y está basada en la mortalidad y en un interés supuesto usados en el cálculo de estas primas netas, la reserva resultante es conocida como “Reserva de prima neta nivelada”.

Por ejemplo, la reserva en el tiempo t para una póliza ordinaria de vida de una unidad emitida a (x), se obtiene de sustraer del valor presente de los beneficios futuros el valor presente de las primas futuras.

Reservas matemáticas PNN 0

Reservas matemáticas PNN 1

Reservas matemáticas PNN 2

Reservas matemáticas PNN 3

Reservas matemáticas PNN 4

AÑO TEMPORAL PRELIMINAR COMPLETO:

Cuando se usa el sistema de reserva de prima neta nivelada como base de valoración de las obligaciones de la compañía con sus asegurados, el recargo disponible para gastos es una cantidad consistente en la diferencia entre la prima cobrada al cliente (prima comercial) y la prima neta nivelada. Dicha diferencia es también una cantidad nivelada, la compañía recibe para gastos la misma cantidad año con año. Sin embargo, en la práctica los gastos realmente no se incurren en forma igual cada año; en el caso del negocio de vida individual las comisiones pagadas a los agentes son decrecientes con el tiempo. Como naturaleza de este ramo, que es el más intangible de los seguros, en la venta de un seguro a largo plazo el agente tiene que hacer un esfuerzo grande para vender una póliza, razón por la cual las comisiones de primer año y otros incentivos como son bonificaciones adicionales por volumen y calidad de las ventas, son considerablemente más altos que la de los años subsiguientes. Igualmente, por el lado de la administración en el primer año los gastos de selección de riesgos, de emisión de las pólizas, su colocación en reaseguros, hacen en conjunto que los gastos de adquisición y administrativos de primer año sean sumamente altos en comparación con los de los años que siguen. De acuerdo con esto hay una deficiencia en el primer año, la cual debe ser suplida o financiada temporalmente con parte del capital del asegurador, esperando que ese capital usado para el financiamiento de la nueva producción sea retornado en los años posteriores de las pólizas, cuando el recargo referido sea más que el suficiente para los gastos de ese año, dejando un remanente para amortizar el “préstamo” o financiamiento del primer año. Esto es más serio aún en el caso de una compañía recién formada, o en el de una compañía pequeña, ambas con capitales de trabajo relativamente pequeños, pues éstas necesitan descontar de su capital de trabajo, una porción para el financiamiento de nuevos negocios, pudiendo llegar a ser para ellas un problema.

Esta situación podría ser aliviada en parte mediante el uso de un sistema de reserva que modifique el sistema de prima neta nivelada, el cual reconozca la realidad de la incidencia decreciente de los gastos, aceptando una prima de primer año menor que la neta nivelada, y en consecuencia un recargo para gastos más grande que el nivelado.

En cualquier sistema modificado como el planteado, la secuencia de la prima neta nivelada P, es sustituida durante un número especificado de años, por una prima neta modificada αx, seguida por una serie de primas de renovación βATPC. Naturalmente αx < P, por lo que en consecuencia βATPC > P.

El período de modificaciones es k. Si k es igual a “m” o a “n” entonces se tiene una serie de pagos como la siguiente:

Series de pago

De acuerdo con lo anterior podemos buscar la fórmula para el cálculo de cualquier reserva modificada, en donde solamente se reduce la prima neta nivelada de primer año, para liberar parte de ella y de esta manera tener mayor disponibilidad para hacerle frente a los gastos del primer año. Basados en el caso de k=m, entonces:

ATPC general

La ecuación anterior dice que si se escoge un período de modificación de k años; αx, que es la prima que artificialmente ingresa al principio del primer año, sumada al valor presente de la prima de renovación βATPC, también usada como artificio, y que se paga a partir del principio del segundo hasta el principio del último año del período de modificación, es decir por un año menos de k, para que sea compensatorio, tiene que ser igual al pago de una prima nivelada original, pagadera por anticipado durante el período de modificación.

De la ecuación anterior se obtiene la prima de renovación:

ATPC 1

ATPC 2

La ecuación (1) nos dice que βATPC es igual, por hacer una comparación financiera, a la cuota de amortización, descontada con interés y mortalidad, al momento de emitirse la póliza, de la deuda contraída por la compañía en el primer año, a pagarse en los próximos k-1 años del período de modificación. La deuda es igual al valor presente de los pagos originales P, menos la prima neta usada αx, y la anualidad por la que la dividimos es el valor actual de 1 unidad monetaria pagadera en forma vencida por los k-1 años a los que nos hemos referido.

A este sistema de cálculo de las reservas terminales basados en una prima modificada y una de renovación calculadas en base a una prima neta nivelada se le conoce como “Año Temporal Preliminar Completo”.

Encabezado ATPC

Reservas terminales ATPC 1

Note que el factor “P” representa la prima neta nivelada dependiendo de cada uno de los planes de seguros (Vida entera, Dotal puro, Temporal y Dotal). Así, el valor de la prima neta de renovación variará únicamente de acuerdo al valor que tome la prima neta nivelada.

Reservas terminales ATPC 1.1

Reservas terminales ATPC 2

Reservas terminales ATPC 3

Reservas terminales ATPC 4

Reservas terminales ATPC 5

Reservas terminales ATPC 6

3.- Reserva Media (Reserva de Balance):

La definición de reserva matemática ha sido anunciada únicamente para valores enteros de la variable t (años transcurridos después de la emisión de la póliza), es decir en los aniversarios de la estipulación de los contratos. Sin embargo, no todas las pólizas son emitidas en un mismo día del año y por lo tanto es preciso establecer una definición que permita el cálculo de las reservas en la fecha del inventario anual, generalmente el 31 de diciembre. En esta fecha no todas las pólizas tienen un número entero de años de vigencia; por el contrario, muy pocas serán las que presentan esta característica por haber sido contratadas ese día. Esta realidad ha motivado que se introduzca un nuevo concepto de reserva matemática, llamada de balance o reserva media, que consiste en considerar precisamente una media. Quiere decir que, al ser distribuidas todas las pólizas durante el año, cada una de ellas puede ser considerada, en promedio, emitida al final del primer semestre, de modo que al final del año, su reserva matemática será la suma del 50% de la reserva del año anterior (t-1) y el otro 50% de la reserva del año en curso t, aparte de que deberá agregarse por concepto de transporte de prima la mitad de la prima anual correspondiente al año t.

En estas condiciones, la siguiente fórmula da un resultado muy aproximado de la llamada reserva de balance o reserva matemática media:

Reserva media PNN

Notemos que el término “P” se refiere a la prima neta nivelada calculada según el plan tradicional de vida individual.

Reserva media ATPC

Reserva media simbología

4.- Otras opciones por Falta de Pago de Primas en el Seguro de Vida:

En general los Seguros de Vida Entera y las Pólizas Dotales tienen las siguientes opciones:

4.1-Préstamos Automáticos para pago de primas

El asegurado, con la garantía de su póliza y transcurrido un tiempo estipulado en las condiciones del contrato se le puede otorgar préstamos automáticos para el pago de primas no pagadas, a un interés generalmente estipulado en la póliza por lo regular inferior al interés bancario promedio del mercado. El total de préstamos que se pueden recibir es el equivalente al monto valor efectivo de la póliza (Valor de Rescate).

4.2-Capital de Rescate

Las compañías de seguros de vida ofrecen valores garantizados a los asegurados que desean abandonar el plan de seguro o a aquellos que no pueden continuar pagando las primas. Estos valores son, en cualquiera de sus formas, actuarialmente equivalentes al valor en efectivo de la póliza, es decir, al monto de dinero al contado que recibe el asegurado en caso de interrupción. Este valor en efectivo se conoce generalmente con el nombre de Valor de rescate de la póliza.

Determinar el valor de rescate es una tarea compleja y, por lo general, se tiende a equiparar este valor a la reserva matemática de la póliza, lo que no es apropiado en la mayoría de los casos. En primer lugar, la dificultad estriba en la existencia de gastos iniciales que aún no han sido totalmente amortizados, y en segundo lugar, puede existir una posible antiselección, que aunque resulte difícil de evaluar no puede ser descartada.

Si bien es cierto que los asegurados que desean interrumpir sus pólizas deben recibir una parte razonable de las reservas, es necesario fijar el monto de tal manera que los asegurados que continúan con sus pólizas no se vean afectados por una situación financiera desfavorable.

Cabe señalar que no existe una norma general para que las compañías calculen el valor de rescate. En ciertas clases de pólizas en las que las reservas son muy pequeñas como en el caso de los seguros temporales, no se suele garantizar dicho valor.

Para resumir lo expuesto anteriormente, el valor de rescate al final del año t, se define como:

Valor de rescate

4.3-Seguro Saldado

Esta operación resulta de un caso de rescisión de contrato y consiste en tomar el capital de rescate como una prima única que el asegurado deja en poder del asegurador (sin más obligación de pagos de primas) para tener un seguro vigente de las mismas características que el rescindido, en cuanto a su duración, pero por un capital reducido que resulte suficiente o adecuado para dicha prima única pagada.

En otras palabras, en el Seguro Saldado, el asegurado utiliza su valor de rescate para continuar con el seguro, conservando el plazo contratado pero disminuyendo su suma asegurada.

Fórmulas de cálculo del seguro saldado para los diferentes seguros de vida individual tradicionales:

Seguro saldado

Seguro saldado simbología

4.4-Seguro Prorrogado

La póliza saldada no es la única opción que tiene un asegurado que deja de pagar las primas. Otra opción que se brinda con frecuencia es el seguro prorrogado. En el momento en que se interrumpe el pago de primas, el valor de rescate se emplea para adquirir un seguro temporal a prima única por la misma suma asegurada de la póliza original pero con una duración limitada, que es igual o inferior a la duración restante de la póliza original.

En otras palabras, el concepto del seguro prorrogado se contrapone al de la póliza saldada. En la fórmula de la póliza saldada se busca un nuevo capital reducido para la duración fija del plan asegurado, mientras que en la del seguro prorrogado se deja inalterado el capital asegurado y se busca el plazo reducido correspondiente a un seguro temporal.

Seguro prorrogado 1

Seguro prorrogado 2

En los seguros mixtos, donde el valor de rescate crece rápidamente, puede ocurrir que este valor sea mayor que la prima única de un temporal con el mismo lapso restante de duración de la póliza original. En este caso, se compra un capital diferido (dotal puro o simplemente dote) con la diferencia. Es decir, la duración del nuevo seguro temporal es “n-t” (lapso restante de la póliza original), y el capital a determinar del seguro adicional, entregado al final de la vigencia del seguro, es:

Seguro prorrogado dote

Fuente: Quiñónez Martínez, Erick J.; Vallecillo Ríos, Nahum I.; Núñez Castro, Roberto E..Monografía de titulación: Diseño y creación de un programa de valuación actuarial de reservas y prima de tarifa en microsoft excel para los planes tradicionales de vida individual.2008. Nicaragua.

 

Tarificación de los seguros tradicionales de vida individual

Dado que ya conocemos un poco del mercado asegurador y de la carrerera Actuarial en Nicaragua, ahora les comparto una forma de cálculo de tarifas para los seguros tradicionales de vida individual, no sin antes abordar algunas generalidades de estos seguros.

1.- Aspectos Generales

Todo seguro de vida, como cualquier seguro, tiene sus raíces en las necesidades básicas de seguridad del ser humano, quien prefiere sustituir el riesgo e incertidumbre por la estabilidad y la certeza, incluso a cambio de algún sacrificio. Esto lo logra esencialmente sustituyendo una pérdida financiera probable por un costo cierto, permitiendo que muchas personas expuestas al riesgo paguen por las pérdidas que sufren algunos desafortunados. De esta manera, el modelo de seguros se basa en que los mismos clientes son contribuyentes solidarios de los infortunios o adversidades sufridas por aquellos que incurren en el siniestro en cuestión, dentro del grupo, lo que se conoce como “compensación de riesgos”.

Según Black & Skipper (2000), en términos matemáticos, la “ley de los grandes números”, aplicada a los seguros, postula que mientras mayor sea el número de exposiciones (vidas aseguradas) para un riesgo similar (la muerte), menos se desviará lo observado de lo esperado. Por tanto, mientras se incrementa el número de exposiciones, el riesgo y la incertidumbre se reducen y de este modo, las empresas aseguradoras pueden ser capaces de anticipar la demanda de siniestros (riesgo común) con un buen grado de exactitud.

Los seguros de vida se dividen esencialmente en dos grupos por el tipo de protección que brindan:

Los seguros en caso de muerte:

  • Planes de Vida Entera y
  • Planes Temporales

Los seguros en caso de supervivencia:

  • Planes de Dote Pura
  • Planes de Renta Vitalicia, etc.

A estos se puede agregar un tercero que sería el seguro mixto, o Dotal, que no es más que una combinación de un temporal y una dote pura. Los planes mencionados anteriormente se conocen como “Planes tradicionales”.

Los Planes no tradicionales, en general, son planes de seguro y ahorro, siendo los ahorros sensitivos a los intereses que devengan porque están ligados o dependen principalmente de los rendimientos de las inversiones de los fondos manejados por los aseguradores, que además pueden dar participación de las utilidades en mortalidad, por ejemplo. Además, son flexibles en cuanto a las sumas aseguradas y tanto la frecuencia como el monto de pago de primas es optativo. Estos son los planes que se conocen con el nombre genérico de “Vida Universal” y funcionan bien en un mercado de valores desarrollado, que es lo que permite que puedan participar los asegurados de los rendimientos de las inversiones de las aseguradoras.

2.- Planes Tradicionales de Vida Individual

Planes de Vida Entera: Proporcionan protección para toda la vida del asegurado, la póliza vence para su pago sólo en caso de fallecimiento de la persona asegurada, cualquiera que sea la fecha en que el asegurado fallezca. Las pólizas de vida entera comprenden el Ordinario de Vida y Vida a Pagos Limitados.

Ordinario de Vida. En este plan las primas se pagan durante toda la vida del asegurado. La póliza ordinaria de vida puede considerarse como el tipo de póliza de seguro de vida que da protección completa con las primas más bajas por ser repartidas durante el tiempo de vida del asegurado.

Vida Pagos Limitados. Estipula el pago de primas solamente durante un número específico de años pactados entre ambas partes (o hasta la muerte previa). Otra modalidad de pago es a una edad alcanzada, por ejemplo a edad de 60 años, 65 años, etc.

Vida Pago Único. Es sencillamente un caso especial del plan vida a pagos limitados, reduciéndose a uno el número de pagos. La protección efectiva del seguro es sustancialmente el valor nominal de la póliza, y el elemento de inversión es correspondientemente elevado. Dichos contratos, por lo tanto, son comprados principalmente para fines de inversión ya que una póliza de prima única ofrece las ventajas de un alto grado de seguridad, un rendimiento de interés satisfactorio y fácil convertibilidad a efectivo por sus valores garantizados.

Planes Temporales: Una póliza temporal es aquella bajo la cual la suma asegurada es pagadera solamente si la persona asegurada muere dentro del período establecido. Generalmente este tipo de planes se pagan durante todo el período de cobertura, pero algunas compañías ofrecen planes temporales a pagos limitados, cuando el plazo de cobertura es bastante largo.

Planes Dotales: Otra modalidad de los planes dotales es el dotal o Dotal Mixto que establece el pago de la suma asegurada en caso de muerte o sobrevivencia del asegurado, es decir, es la suma de un temporal y un dotal puro. De igual manera que los planes anteriores, el asegurado puede pagar durante toda la cobertura del plan, hacer pagos limitados o un sólo pago.

3.- Primas de Riesgo, de Ahorro y de Tarifa (comercial)

La prima neta nivelada o constante está compuesta de dos partes, una destinada para que el asegurador cubra el riesgo de muerte de cada año, que toma el nombre de Prima de riesgo y la parte complementaria llamada Prima de ahorro, destinada como su nombre lo indica a formar la reserva, ganando el interés técnico correspondiente.

La Prima Neta Nivelada, más los recargos nivelados para gastos de administración, de adquisición y de cobranza determinan la Prima de Tarifa, que también se denomina Prima Bruta o Prima Comercial.

Los elementos que intervienen en el cálculo de las primas de tarifas en el seguro de vida individual son:

  • Mortalidad
  • Tasa de Interés Técnico
  • Gastos de Administración
  • Gastos de adquisición
  • Gastos de cobranza

Tasa de Mortalidad:

Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1. Esta función se encuentra reflejada en las tablas de mortalidad (denotada por qx), las cuales son un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida. Es por consiguiente una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos.

Las tablas de mortalidad, además de las tasas de mortalidad, reflejan los valores de los siguientes elementos:

Variable “x”: Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Generalmente comienza a la edad cero (0), recién nacidos o que no han cumplido un año de edad, y termina en una edad extrema de la tabla, a partir de la cual no hay sobrevivientes y se denota como w(omega).

Función “ lx”: Indica el número de sobrevivientes a cada edad x. Generalmente, a la edad inicial, comienza por un número redondo, tal como 10 millones, 1 millón o 100 mil sobrevivientes, los cuales van reduciéndose año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número mínimo de sobrevivientes a la edad (w-1), o sea, lw-1 son los sobrevivientes que están destinados a fallecer a esa edad, es decir, de no alcanzar la edad w.

Función “dx”: Indica el número de personas que fallecen a la edad x y se representa por la diferencia entre el número de sobrevivientes a las edades consecutivas x y x+1, es decir,   dx = lx – lx+1 o el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el siguiente aniversario.

Función “ px”: Indica la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x+1. Se representa por: px = lx+1 / lx.

Conmutativos: Son relaciones matemáticas artificiosas que ayudan a simplificar los desarrollos algebraicos. Sus valores son calculados en base a una determinada mortalidad y una tasa de interés denominada tasa de interés técnico.

A continuación enuncio los principales símbolos conmutativos:

Conmutativos

Gastos de administración:

Son los relacionados con las necesidades técnicas y administrativas para el buen funcionamiento de la entidad aseguradora. Entre estos recargos de gestión interna figuran en forma preponderante los sueldos de los empleados y los gastos generales. Se designan por “δ”, son proporcionales a la prima comercial anual, y se asume que son gastos anuales que duran cuanto dura el seguro.

Gastos de adquisición:

Se refieren a las comisiones que paga la entidad aseguradora al agente, corredor o productor de seguros y otros gastos que corresponden a la gestión del negocio como sobrecomisiones de venta a supervisores o gastos indirectos. Los gastos propiamente de comisiones, que son el principal componente de estos gastos, son cantidades que se pagan a lo largo de un período de años, generalmente 10, en proporción a la prima comercial anual; pero para efectos de cálculo, tanto las comisiones como los otros gastos de adquisición son susceptibles de representarse por una sola suma, pagadera de una sola vez en proporción a la prima anual. Estos gastos se denotan por Símblo de gastos de adquisición

Gastos de cobranza:

Son gastos referidos a las gestiones que realiza la compañía aseguradora encaminadas a conseguir el pago de la prima por parte del asegurado. Está constituida por la comisión que se paga a los cobradores, es una cantidad proporcional a la prima comercial anual y se representa por Símbolo de gastos de cobranza Esta comisión es pagadera durante el período “m” del pago de primas.

Fórmulas de primas únicas

Fórmulas de primas netas niveladas

Primas de tarifa

Fórmula de prima comercial

Prima comercial 1

Es importante destacar que la fórmula arriba descrita es la fórmula general para cualquier prima de tarifa, bajo el procedimiento de cálculo planteado, siendo el único factor de diferenciación el valor de la Prima neta nivelada (P), la cual variará dependiendo del tipo de seguro contratado por el asegurado.

Fuente: Quiñónez Martínez, Erick J.; Vallecillo Ríos, Nahum I.; Núñez Castro, Roberto E..Monografía de titulación: Diseño y creación de un programa de valuación actuarial de reservas y prima de tarifa en microsoft excel para los planes tradicionales de vida individual.2008. Nicaragua.